從“三角形內角和”的教學談課堂教學的有效性

[關鍵詞]三角形內角和 課堂教學 有效性

[文獻編碼]doi:10.3969／j.issn.0450-9889(A)2011.08.023

近日，筆者有幸傾聽了多位教師執教的《三角形內角和》一課。《三角形內角和》是蘇教版第八冊的內容，教材從三角尺的三個內角相加出發，通過撕、拼的方法驗證得出三角形的內角和是180°。這是原來大綱版教材沒有的內容。聽完以后，感受頗深。下面，筆者就《三角形內角和》這個課題的兩種教法談幾點體會。

案例一

(一)復習提問

師：同學們，我們已經學習了三角形的許多知識，你們知道三角形的三個內角和是多少度嗎?今天我們一起來研究三角形的三個內角的關系。

(二)新課教學

第一層次

請同學們拿出一副三角板，說說每個角的度數，再分別算一算每個三角板中三個內角的和是多少度。

師：通過計算你們發現了什么?

生：每個三角形的三個內角的度數加起來都等于180°。

師：我們能不能得出這樣的結論：所有的三角形三個內角加起來都等于180°?

第二層次

師：剛才我們量的是三角板上三個角的度數。現在請同學們自己畫一個任意三角形，再量一量、算一算，三個角的和是不是1800?

生：是的。(其實有幾個學生是接近180°的，坐在筆者前面的學生算出來是176°。)

師：我們還可以來驗證一下。請同學們拿出自己剪的三角形，請你撕下三--角形的三個角，把它們拼在一起，看能不能拼成一個平角。(學生動手操作拼擺)

師：通過這個實驗，你們發現了什么?

生：三個角拼成了一個平角。

生：三角形三個內角加起來等于180°。

師：我們還可以折一折來驗證。再拿出自己剪的一個三角形，把左右兩個角各向中間折過去，頂點相對，另一個角的頂點也向兩角頂點對齊，這樣可以對折成一個長方形(教師示范)。觀察這三個角，你又發現了什么?

生：三個角頂點重合后，正好也是一個平角。

生：說明三角形的三個內角加起來也是180°。

第三層次

師：通過剛才的量、撕、折，我們能不能對三角形的三個內角的和下個結論?

生：三角形三個內角的和等于180°。

師：對!不論是什么三角形，三個內角度數的和總是等于1800。簡單地說，“三角形內角和是180°”，這就是我們這節課要學習的新知識。

(三)鞏固練習

求三角形中未知角的度數。(略)

案例二

(一)情境導入

老師拿出兩個已經破損的僅剩半塊的三角尺(如右上角圖)(這是老師特意安排的教具)。

師：同學們，我們學習三角形，就要用到三角尺，今天老師拿來了兩塊三角尺，都只有半塊，你知道它們原來的形狀嗎?

(二)新知探究

第一層次(發現問題)

同學們認真地觀察著這兩個半塊三--角尺，進行著思考和想象。過了一會兒，大家開始展開討論：有些學生認為選A，因為A比較大，能知道原來的形狀；有些學生提出不同意見，認為大不能解決問題，因為一個角的兩條邊哪一條長，哪一條短無法確定，而且還可以無限延長，越延長，三角形就越大，因此原來的形狀、大小不能確定；也有些學生認為選擇B，因為這塊有兩個角，延長兩條邊一定會相交于一點，就能得到與原來形狀大小完全相同的三角形；有的學生干脆拿出了紙和筆畫起來。在同學們充分討論后，并且討論聲音漸趨消失時，老師結合學生的回答，通過電腦演示，使學生直觀地感知到，只有一個角的A塊，形狀大小是不確定的；有兩個角的B塊，當延長兩條邊時，會相交于一點，形成一個三角形，這個三角形不能再變化，所以它的大小和形狀也是確定的。

師：通過分析比較，你們想知道些什么問題?

生：為什么三角形中兩個角確定了，第三個角也就被確定了呢?

第二層次(合作探究)

師：既然大家想知道“為什么三角形中兩個角確定了，第三個角也就被確定了”這個問題，那么我們大家來合作探究一下(小組合作討論研究)：

1.先猜想一下，三角形的三個內角之間可能會存在怎樣的關系?

2.你想怎樣探究這個問題?

3.你用什么方法證明自己的猜想是否正確?請試著證明一下。

4.你的結論是什么?

5.你覺得自己的這種證明能讓別人信服嗎?還有其他的證明方法嗎?

學生們以小組為單位，拿出準備好的各種紙三角形，積極地思考著要探究的問題，大膽地提出自己的猜想，并嘗試著進行各種實踐證明……在近10分鐘的自主活動之后，學生充分展示了自己的思考方法和探究過程。

生1：我們小組從“兩個角確定，第三個角也就確定”這句話中聯想到：三角形的三個內角之間一定存在著某種關系，比如和、差或積、商的關系，我們先從和的關系想起，即三個角的度數的和是一定的，或者說第三個角的度數可能等于一個固定的數減去另兩個角的度數。我們小組先把三角尺三個角的和算出是180°，而且兩把尺的三個角的和都是180°。所以我們猜想，三角形的三個內角的度數加起來是180°。

生2：我們小組也是這么想的，但三角形的三個內角的和是不一定的。我們每人畫了一個三角形，然后量出它們的內角后再求出和，結果6個三角形的內角和都不一樣。分別是178°、181°、179°、178°、182°、180°，所以我們認為三角形三個內角的和是不一定的。

生3：我們也一樣，也認為三角形的三個內角和的度數是不一定的。不過，我們發現三角形的內角和的度數是在180°左右發生變化。我們5人算出的度數分別是179°、181°、182°、176°、180°178°。從第二組同學求出的三角形三個內角的度數和來看，也是在180°左右。所以我們也猜想三角形的三個角的度數和可能是180°。

生4：我們認為三角形的內角和是180°。剛才，有些同學算出的內角和是178°、179°、182°等，我認為可能是由于量角時產生誤差所造成的。

生5：我們猜想三角形的內角和是180°。我們用實踐也證明了是正確的。我們剪下一個三角形的三個角，然后拼在一起，正好拼成一個平角。所以，我們認為，三角形的內角和是180°。

師：是嗎，你能上臺演示給大家看看嗎?(同學上臺拼，其他同學目不轉睛地盯著看)

師：這一組同學用實驗的方法驗證自己的猜想是否正確。這是進行科學探究的一種方法，我們應該向他們學習。那么同學們能不能用已有的知識，通過實踐來證明自己猜想是否正確呢?

繼續合作討論探究。

又經過近10分鐘的探索實踐，學生終于對三角形的內角和作出了證明：

1.通過對折三角形的三個角，能得到一個長方形，三角形的三個內角正好拼成一個平角，是180°；

2.兩把相同的三角尺能夠拼成一個長方形，長方形的四個角都是直角，和是360°，原來三角形的三個內角正好是長方形四個角的一半，所以也是180°。

師：那么，現在你們知道“為什么三角形中兩個角確定了，第三個角也就被確定了”的道理了嗎?

第三層次

通過剛才的分析和探究，我們能不能對三角形的三個內角的關系下個結論?

(三)實踐應用和拓展提高

師：我們的生活中到處都有數學，數學能幫助我們解決生活中的實際問題。

下面的問題，誰能很快回答?

(1)楊老師家的一塊三角形玻璃碎成了兩塊，(如下圖)該拿哪一塊去重新定做呢?說說你的道理。

(2)一個三角形剪去一個30°的角以后，所剩圖形的內角和是多少度呢?

體會一：怎樣的操作活動更有效?

兩個教學案例中都有學生的操作活動，而且在形式上很相似但存在本質的區別。案例一中學生的“量”“撕”“折”等一系列操作活動，都是在機械地執行教師的一個個指令，學生并不清楚為什么要進行這些操作活動。這樣的操作活動缺少探究味，思維含量不高，充其量只是為了得出某個數學結論，因此難以培養學生的實踐能力。而案例二中的整個探究實踐活動，問題是開放的，目標是明確的，思維是發散的，操作是自由的，結論是待定的，學生始終是積極主動的，其思維在不斷出現問題和問題不斷被解決的過程中逐漸深化。

體會二：怎樣的探究活動更有意義?

兩個案例都是讓學生探究“三角形三個內角加起來是不是等于180°”。案例一的復習已經直接為新知作準備，探究的課題是教師直接提出的，學生按教師的指令進行操作，從而得出三角形內角和的結論。得出結論后又未能引導學生檢驗驗證，而急于鞏固練習……教師的主導作用體現得過于充分，而學生的主體作用發揮得微乎其微。案例二的教學重視了學生親身經歷探究發現知識的過程，從問題情境引入，使學生自發提出所要探究的問題。對于想要探究的問題，學生先從自己的生活經驗出發，用自己的思維方式提出猜想，對自己的猜想進行驗證，最后獲得結論。同時對于自己的證明方法進行反恩，能否讓其他人信服，對自己原先的猜想重新加以判斷。最后在師生、生生之間的辯論中逐步使學生發現三角形內角和的知識。這樣的探究是學生自發的、自主的、有積極性并饒有興趣的，學生在合作交流中學習科學探究的方法，為今后的學習打下了堅實的基礎。

體會三：怎樣使數學知識更有生活味?

學生的數學學習應當是現實、有趣、富有挑戰性的，學生學習的不僅是文本課程，更是體驗課程，這正是數學課程標準中提出的新境界。案例一中從復習到鞏固，解決的都是數學問題，脫離了學生的生活實際，使學生感到數學枯燥、乏味。而案例二中情境導入就是學生生活中常見的現象，解決的問題也是學生生活中可能會遇到的問題，這樣的問題學生在解決時會充滿信心，尤其在完成時會有一種說不出的愉悅和滿足感。因此，我們的數學必須從書本數學走向生活數學，讓學生置身于現實的問題情境中，在解決生活問題的過程中發現數學知識，并運用知識更好地解決生活問題。

(責編： 林劍)