解三角題要防范“七個忽視”

由于三角題具有知識點多、覆蓋面廣、綜合性強等特點，解題常常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤，有的錯誤還不易察覺. 下面列舉“七個忽視”，請注意防范.

一、忽視“正余弦函數(shù)的有界性”

例1． 求函數(shù)y=-sin2■x＋3sinx-■(x∈R）的最大值.

錯解：因為y=-sin2■x+3sinx-■=-(sinx-■)2+■，所以函數(shù)y的最大值為■.

評析與略解: 顯然在y= -(sinx-■)2+■中，當sinx=■時， y=■. sinx=■，與sinx≤1矛盾，因此■不是此函數(shù)的最大值. 令sinx=t，則-1≤t≤1，因-（t-■）2在［-1，1］上單增，所以其最大值為-1(1-■■)■2+■=■，故原函數(shù)y的最大值為■.這里因忽視正弦函數(shù)的有界性致錯.

二、忽視“復合函數(shù)的單調(diào)性”

例2． 求函數(shù)y=cos(■-x)的單增區(qū)間.

錯解：因為cosx的單增區(qū)間是［2k?仔-?仔，2k?仔］，

所以2k?仔-?仔≤■-x≤2k?仔，-2k?仔+■≤x≤-2k?仔+■.

因此函數(shù)y=cos(■-x)的單增區(qū)間是［2n?仔+■，

2n?仔+■］，n∈Z.

評析與略解: 若令z=■-x，則y=cosz.由于z=■-x是減函數(shù)，所以y=cosz的單增區(qū)間則是復合函數(shù)y=cos(■-x)的單減區(qū)間.正確的解法是：y=cos(■-x)=cos(x-■)，cos(x-■)的單增區(qū)間則是y=cos(■-x)的單增區(qū)間，即2k?仔-?仔≤x-■≤2k?仔，解得2k?仔-■≤x≤2k?仔+■.因此原函數(shù)的單增區(qū)間是［2k?仔-■，2k?仔+■］，其中k∈Z.這里因忽視復合函數(shù)的單調(diào)性致錯，這種錯誤常常出現(xiàn)，大家要引起注意.

三、忽視“對字母的分類討論”

例3． 設函數(shù)f(x)＝asin(2x+■)+b(x∈R)的最大值為5，最小值為-1，求實數(shù)a、b的值.

錯解：由題意，得a+b=5且-a+b=-1，解得：a=3，b=2.

評析與略解:這里誤認為asin(2x+■)的最大值是a、最小值是-a，忽視了對字母a取值的分類討論. 正確的解法是:由題意可知a≠0.當a＞0時，就是上述答案;當a＜0時，應有-a+b=5且a+b=-1，解得：a=-3，b=2.因此a=3，b=2；或a=-3，b=2.

四、忽視“隱含條件”

例4． 設0＜?琢＜?仔，sin?琢+cos?琢=■，求cos2?琢-sin2?琢的值.

錯解：因為sin?琢+cos?琢=■，所以(sin?琢+cos?琢)2■=■，2sin?琢cos?琢=-■.

于是(cos?琢-sin?琢)2=1-2sin?琢cos?琢=1+■=■，cos?琢-sin?琢=±■.

當0＜?琢＜?仔時，有cos?琢-sin?琢＞0或cos?琢-sin?琢＜0.

故cos2?琢-sin2?琢=(cos?琢+sin?琢)(cos?琢-sin?琢)=±■.

評析與略解: 初看起來，似乎沒有錯誤，其實這里忽視了2sin?琢cos?琢=-■中的隱含條件“sin?琢，cos?琢”異號，結(jié)合已知條件0＜?琢＜?仔就有sin?琢＞0，cos?琢＜0，則cos?琢-sin?琢＜0，取cos?琢-sin?琢=-■，故cos2?琢-sin2?琢=-■.

五、忽視“定義域”

例5． 已知函數(shù)f(x)＝(1-tanx)［1+■sin(2x+■)］，求f(x)的值域.

錯解：因為f（x）=（1-■）（1+■sin2xcos■）+■cos2xsin■=(1-■)(2sinxcosx+2cos2x)=2(cosx-sinx)(cosx+sinx)=2(2cos2■x-sin2■x)=2cos2x.所以函數(shù)f(x)的值域是［-2，2］.

評析與略解: 本題三角恒等變換準確無誤， 錯在“忽視了原函數(shù)的定義域”.原函數(shù)的定義域是{x｜x≠k?仔+■，k∈Z}，變形到f(x)=2cos2x時， x的取值范圍仍然是x≠k?仔+■，于是2x≠2k?仔+?仔，2cos2x≠-2，故函數(shù)f(x)的值域是（-2，2］.

六、忽視“誘導公式”

例6． 在△ABC中，若■=■，試判斷△ABC的形狀.

錯解: ■=■就是■=■?圯（a2■-b2）sin(A+B)-（a2■+b2）sin(A-B)=0?圯a2■[sin(A+B)-sin(A-B)]-b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=0?圯2a2■cosAsinB-2b2sinAcosB=0?圯■=■?圯■=■?圯sin2A=sin2B?圯2A=2B?圯A=B，故△ABC是等腰三角形.

評析與略解:將向量關系向三角形的邊角關系轉(zhuǎn)化，變形過程準確無誤.但最后由“sin2A=sin2B?圯2A=2B?圯A=B”出現(xiàn)錯誤.由于2A，2B∈(0，2?仔)，因此由sin2A=sin2B應推出2A=2B或2A+2B=?仔?圯A=B或A+B=■.故△ABC是直角三角形或等腰三角形.一般地，由sina=sinβ應得到?琢-β=2k?仔或?琢+β=2k?仔+?仔，k∈Z.

七、忽視“三角形的邊角關系”

例7． 在△ABC中，已知cosA=■， sinB=■，求cosC的值.

解析：由cosA=■?圯sinA=■.由sinB=■?圯cosB=±■.

于是cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-■×■+■×■=■，或cosC=-cosAcosB+sinAsinB=-■×(-■)+■×■=■.

評析與略解: 初看起來，似乎沒有錯誤.其實在△ABC中，若sinA＞sinB，則有A＞B由正弦定理有■=■，■=■，sinA＞sinB?圯■＞1?圯■＞1?圯a＞b?圯A＞B.這里sinA=■， sinB=■，sinA＞sinB， 則A＞B，所以B為銳角，cosB=■，cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=■.只有cosC=■，而cosC=■是錯誤的.

（作者單位：安徽省太湖中學）

責任編校 徐國堅