幾何概型學習的“兩點注意”

幾何概型同古典概型一樣，是概率中最具有代表性的試驗概型之一，在高考命題中占有非常重要的位置，我們理解并掌握幾何概型的兩個基本特征，即每次試驗中基本事件個數的無限性和每個事件發生的等可能性，并會求簡單的幾何概型試驗的概率.在學習幾何概型時，我們尤其需要注意以下兩方面的問題.

一、理解樣本空間 建立數學模型

例1. 若在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求在∠CAB的內部任作射線AP交線段BC于P，使BP

錯解：在ＢＣ上截取ＢＤ＝ＡＢ，連接ＡＤ，則ＢＣ＝２ＡＢcos30°=■BD，點P隨機落在線段BC上，當點P位于圖中的線段BD上時，BP

錯因分析：這種解答過程看上去無懈可擊，實則非然，根據新課標教材(人教A版)對幾何概型的定義，要看清基本事件的組成，且幾何概型的特點是樣本空間在一個區域內均勻分布.這里的樣本空間應該是射線，而當點P從B點運動到D點時，射線CD掃過的區域三角形面積是不均勻增加的，即所作的射線不是等可能的.而觀察發現，射線CD掃過的區域角是均勻增加的，這時所作的射線是等可能的.

正解：作射線ＡＰ在∠ＣＡＢ內是等可能分布的，即射線等價于圓?。拢?以Ａ為圓心)上的點，在ＢＣ上取一點Ｄ，如圖，使∠ＡＤＢ＝７５°，則ＢＤ＝ＡＢ，記“在∠ＣＡＢ的內部任作射線ＡＰ交線段ＢＣ于Ｐ，使ＢＰ

溫馨提示：為什么不能等價到線段上的點，而是等價到了弧上的點，那是因為等價到線段上的點破壞了等可能性(因為同等線段長射線掃過的區域不同，但同等弧長射線掃過的區域相同)，故我們在等價的過程中不僅要注意要一一對應，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性.

變式：若在等腰三角形ABC中，∠B=∠C=30°，求在底邊BC上任取一點P，使BP

解析：∵點P隨機地落在線段BC上，故線段BC為區域D，以B為圓心，AB為半徑交弧BC于D，記“在底邊BC上任取一點P，使BP

例2. 已知向量■（２，１），■=（x，y），若x∈[-1，２]，y∈[-1，１]，則向量■，■的夾角是鈍角的概率為 .

解析：設“■，■的夾角是鈍角”為事件A，由■，■的夾角是鈍角，可知■·■<0，即2x+y<0，且x≠2y.?贅={（x，y）-1≤x≤2-1≤y≤1}，A={（x，y）-1≤x≤2，-1≤y≤1，2x+y<0，x≠2y}，

則P（Ａ）=■=■=■.

溫馨提示：幾何概型的計算一般按下列步驟進行:

①選取合適的模型，即樣本區域D;

②在坐標系中正確表示D與所求概率事件A所在的區域d;

③計算D與d的測度?滋D，?滋d；

④計算概率P（A）=■.

二、多角度觀察建立數學模型

例3. 將長度為1米的鐵絲隨機剪成三段，則這三段能拼成三角形(三段的端點相連)的概率等于多少?

錯解一：∵x+y>■，x+y<1，∴■

錯解分析：本題誤把長度看作幾何度量.

錯解二：設O到三點的三線段長分別為x，y，z，即相應的右端點坐標為x，y，z，顯然０≤x，y，z≤１這三條線段構成三角形的充要條件是:x+y>z，x+z>y，y+z>x.在線段[0，1]上任意投三點x，y，z.與立方體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1中的點（x，y，z）一一對應，可見所求“構成三角形”的概率等價于邊長為1的立方體Ｔ中均勻地擲點，而點落在x+y>z，x+z>y，y+z>x區域中的概率. 這也就是落在圖中由△ADC，△ADB，△BDC，△AOC，△AOB，△BOC所圍成的區域G中的概率.由于V（T）=1，V（G）=13-3×■×■×13=■，∴p=■=■.

錯解分析：本題的嘗試是非?？扇〉模鲆暳艘粋€非常重要的條件:x+y+z=1.從而導致解答出現錯誤.這在很多資料中都是這種解法.務必要引起大家的重視.

正解：設剪成的三段為x，y，1-x-y，∴x+y>1-x-y且x+（1-x-y）>y且y+（1-x-y）>x，解得:x+y>■且0

溫馨提示：在處理此題時，有些同學會把全部實驗結果構成的區域看成正方形，造成這種錯誤的原因是忽視了１－x-y>0.同時對于與線性有關的幾何概型，首先要正確列出約束條件，然后準確作出可行域.

引申推廣：將長度為l米的鐵絲隨機剪成三段，則這三段能拼成三角形(三段的端點相連)的概率是多少?證明:設線段長為l，任意分為x，y，l-x-y三段.

1. 有0

2. 當x，y，l-x-y可以組成三角形，還應該滿足:x+y>l-x-y?圯x+y>■，l-x-y+y>x?圯x<■，l-x-y+x>y?圯y<■， ∴在平面域上表示的面積為S2=■·■·■=■，根據幾何概型:■=■=■.

以上給出了三種不同類型的幾何概型，即角度型、面積型和體積型，要求考生能正確理解樣本空間，正確建立相應的數學模型，然后將隨機事件與所有基本事件在二維及三維空間中用相對應的幾何區域表示出來，從而把概率問題轉化為求相應部分的測度之比使問題得以解決.

（作者單位：湖南安仁一中）

責任編校 徐國堅