關于對第一宇宙速度的理解

第一宇宙速度是人類在探索太空發射衛星時的一個重要概念，那么你對這個概念又了解多少呢？下面我們以地球的第一宇宙速度為例來加以說明，從而真正理解第一宇宙速度的含義：

一、地球的第一宇宙速度的定義

地球的第一宇宙速度就是物體在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，這個速度也叫環繞速度.

特別提醒：對于該概念的理解要從以下幾個角度考慮：

第一：物體的運動情況是做勻速圓周運動；第二：該定義明確指出了物體是在地球的表面，這就相當于指出了物體的軌道半徑r近似為地球的半徑R，即：r=R.

二、第一宇宙速度的兩種推導方法：

方法一：設地球和衛星的質量分別為M、m，衛星到地心的距離為r，衛星運動的速度為v.將衛星繞地球的運行看成是勻速圓 周運動，由萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律有：GMm/r2＝mv2/r.

當衛星在地球的表面附近運行時，如圖1所示，可認為此時的軌道半徑r近似等于地球的半徑R：r≈R=6.4×106m，此時衛星所受地球的萬有引力與衛星的重力相差不大，則有：GMm/R2＝mv2/R由此可解得：v=■ (1)

已知萬有引力常數G=6.67×10－11N·m2/kg2，地球的質量M=6×1024kg和R=6.4×106m代入（１）式可解得地球上第一宇宙速度為：v1=■=7.9km/s．

這就是人造地球衛星在地面附近繞地球做勻速圓周運動時所必須具有的速度.

方法二：物體在地球表面附近物體的重力大小相近等于物體所受萬有引力的大小，即：mg=G■，那么物體繞地球做勻速圓周運動需要的向心力大小也就等于物體所重力的大小，即mg=m■，因此可得v=■（g為地球表面的重力加速度）

將g=9.8m/s和R=6.4×106m代入上式可解得地球上的第一宇宙速度為：v=7.9km/s.

特別提醒：由以上兩種推導方式可以看出，第一宇宙速度有兩種表達方式: v=■或v=■，在運用的時候要根據條件進行分析.從以上兩種表達可以看出，不同的天體，在其上面發射人造衛星的第一宇宙速度也不同，因此在說第一宇宙速度時一定要明確指出是某一個天體的第一宇宙速度，否則就是毫無意義的.

例1. 若取地球的第一宇宙速度為v=8.0km/s，某行星的質量是地球質量的6倍，半徑是地球半徑的1.5倍，那么這行星的第一宇宙速度約為

A. 16 km/s B. 32 km/s

C. 4 km/sD. 2 km/s

解：由萬有引力定律的G=■=m■，由此可得v=■.

因為行星的質量M′是地球質量M的6倍，半徑R′是地球半徑R的1.5倍.即M′=6M，R′=1.5R，由此可得：■=■=■=2.

即：v′=2v=2×8km/s=16 km/s.由此選項A正確.

總結：計算第一宇宙速度有兩種方法：（1）由

G■=m■得：v=■；（2）由mg=m■得：v=■.

三、第一宇宙速度的三層含義

如圖2所示，一顆質量為m的衛星在距地心r的圓軌道上做勻速圓周運動，設其運行速率為v，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：GMm/r2＝mv2/r.

由此可得衛星的速率為：v=■ （2）

比較（1）（2）兩式，由于r＞R，所以有v＜v1=7.9km/s.

可見衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑越大，運行速率就越小，即人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動的最大環繞速度為7.9km/s.

一顆質量為m的衛星在地球表面附近被發射并進入運行軌道，假設發射速度為v0=v1，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：GMm/R2＝mv02/R （3）

即衛星恰好繞地球的表面附近做勻速圓周運動，若v0＜v1=7.9km/s，則由（3）式可得：GMm/R2＞mv02/R，即衛星所受到的萬有引力大于衛星做勻速圓周運動所需要的向心力，此時衛星將會靠近球心而落到地面，所以將使衛星進入軌道，所需的發射速度v0≥7.9km/s.即人造地球衛星的最小發射速度是7.9km/s.

通過上面的分析可知第一宇宙速度它有三層含義：

①第一宇宙速度是人造地球衛星在地球表面附近環繞地球做勻速圓周運動時所具有的速度.

②第一宇宙速度是人造地球衛星環繞地球做勻速圓周運動的最大環繞速度.

③第一宇宙速度是發射人造地球衛星進入最低軌道所必須具有的最小速度.

例2.關于第一宇宙速度，下列說法正確的是

A. 它是人造地球衛星繞地球飛行的最小速度

B. 它是人造地球衛星繞地球飛行的最大速度

C. 它是能使衛星進入近地圓形軌道的最小發射速度

D. 它是衛星繞地球飛行軌道上近地點的速度

解析：根據第一宇宙速度的三層含義可知選項BC正確.

思維總結：在分析第一宇宙速度的時候一定要理解它所表示的三層具體含義.

四、第一宇宙速度與發射速度、運行速度的區別

（1）發射速度：所謂發射速度是指被發射物在地面附近離開發射裝置時的初速度，并且一旦發射后就再無能量補充，被發射物僅依靠自己的初動能克服地球引力上升一定的高度，進入運動軌道．要發射一顆人造地球衛星，發射速度不能小于第一宇宙速度．若發射速度等于第一宇宙速度，衛星只能“貼著”地面近地運行．如果要使人造衛星在距地面較高的軌道上運行，就必須使發射速度大于第一宇宙速度．

（2）運行速度：是指衛星在進入運行軌道后繞地球做勻速圓周運動的線速度．當衛星“貼著”地面運行時，運行速度等于第一宇宙速度．根據v=■可知，人造衛星距地面越高（即軌道半徑r越大），運行速度越小．實際上，由于人造衛星的軌道半徑都大于地球半徑，所以衛星的實際運行速度一定小于發射速度．

五、第一宇宙速度的典型應用

典型應用一：利用第一宇宙速度確定某衛星能否發射成功

例3.可否發射一顆周期為80分鐘的人造地球衛星？并說明你的理由.已知地球半徑R=6.4×103km.（結果要求二位有效數字）.

解析：設衛星繞地球運轉的環繞速度為v，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：

GMm/r2＝mv2/r ，由此可得衛星的速率為：v=■

G=6.67×10－11N·m2/kg2、M=6×1024kg代入上式可解得地球上的第一宇宙速度為：v1=7.9km/s.

若衛星的周期為T=80min，則衛星繞地球做勻速圓周運動的線速度為：v=■=■≈8.4×103m/s.

可見衛星的運行速度大于第一宇宙速度，顯然不可能發射一顆周期為80分鐘的人造地球衛星.

思維總結：在知道某兩個運行速度和軌道半徑大小的前提下，可以比較兩顆衛星繞同一天體運動周期的大小.

典型應用二：利用第一宇宙速度求天體的質量

例4.地球質量為M，半徑為R，萬有引力恒量為G，發射一顆繞地球表面附近做圓周運動的人造衛星，衛星的速度稱為第一宇宙速度，若已知地球第一宇宙速度的大小為v=7.9km/s，地球半徑R=6.4×103km，萬有引力恒量G=■×10-10N·m2/kg2，求地球質量（結果要求二位有效數字）.

解析：設衛星質量為m，它在地面附近作圓周運動時圓半徑可取為地球半徑R，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：G■=m■

解得： M=■=■＝6.0×10２4kg

思維總結：在公式G■=m■中若式中所對應的速度為某天體的第一宇宙速度，則此時衛星的軌道半徑可近似地認為是某天體的半徑.

跟蹤練習：1990年3月，紫金山天文臺將1965年9月20日發現的第2752號小行星命名為吳健雄星，其直徑為R2=32km.如該小行星的密度和地球相同，則對該小行星的第一宇宙速度是多少？已知地球半徑R1=6400km，地球的第一宇宙速度v1=8km/s，重力加速度為g1.

解析：設小行星上的第一宇宙速度為v2，其重力加速度為g2.

地球的質量：Ｍ地球＝■?仔R１３·?籽，

小行星的質量：Ｍ小行星＝■?仔R２３·?籽，

設一質量為m的衛星在地球赤道表面附近運行，在天體的表面有mg1=G■

當一質量為m的衛星在小行星赤道表面附運行時同樣有mg2=G■

由以上四式可得：■＝ ■ ①

某天體上的第一宇宙速度可表示為v=■，所以

地球上的第一宇宙速度與小行星上的第一宇宙速度之比為：■= ■ ②

由①、②兩式得：v2=■v1=■×8×103=40m/s.

（作者單位：陽山縣陽山中學）

責任編校 李平安