備考中不可忽略的分類討論思想

一、引言

分類討論作為一種數學思想，在考生的思維發展中有著不可估量的作用，歷年高考中都把它列為一種重要的思想方法來考查.簡單一點來說分類討論思想就是一種化繁為簡、化整為零、區別對待、分類點擊的思維策略在數學解題中的體現，對建構考生思維的全面性、深刻性、和嚴謹性有著積極的影響.分類討論思想既是高考的重點與熱點、又是難點，解決分類討論的關鍵是找到切入點，即為什么分和怎樣分？

二、分類討論的常見情形

⑴ 由數學概念引起的分類討論：主要是指有的概念本身是分類的，如絕對值、直線的斜率、指數函數、對數函數的單調性等.

⑵ 由性質、定理、公式引起的分類討論：有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同條件下結論不一致，如等比數列前n項和公式、函數的單調性等.

⑶ 同某些數學式子變形引起的分類討論：有的數學式子本身是分類給出的，如不等式ax2+bx+c>0，a=0，a<0，a>0解法是不同的.

⑷ 由圖形引起的分類討論：有的圖形的類型、位置需要分類，如角的終邊所在象限，點、線、面的位置關系等.

⑸ 由實際意義引起的討論：此類問題在應用題中常見.

⑹ 由參數變化引起的討論：某些用參數表達的式子由于參數取值不同，會導致不同結果的需要討論.

三、典型例題剖析

分類討論思想有那么多種情形，所以很復雜，如果每種情形都舉例說明，而且每種情形還涉及不同知識板塊，遠不是三言兩語能詳盡的.以下選一個角度，結合高考備考舉一些典例加以剖析，供同學們參考.

例1． 已知函數f（x）=x2+■(x≠0，常數a?綴R）.論函數f（x）的奇偶性，并說明理由．

解析：f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），

當a=0時，f（x）=x2，f（-x）=（-x）2=x2=f（x），所以f（x）是偶函數．

當a≠0時，f（1）+f（-1）=2≠0， f（1）-f（-1）=2a≠0，

所以f（x）既不是奇函數，也不是偶函數．

剖析：這里有集合的觀點問題，只要是分類討論思想中的類都有不相容性．很多同學不理解這一點只要參數的取值能帶來不同的結論，就該分類討論．

例2. 在集合｛1，2，3，4，5｝中任取一個偶數a和一個奇數b構成以原點為起點的向量■=（a，b） .從所有得到的以原點為起點的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形．記所有作成的平行四邊形的個數為n，其中面積不超過4的平行四邊形的個數為m，則■=（）

A． ■B． ■ C． ■D． ■

解析：D. 基本事件由（2，1），（2，3），（2，5），（4，1），（4，5）這5個中取2個有：n=C25=15種，其中面積為1的平行四邊形的個數為3，即（2，3），（4，5）;(2，1)，(4，3);(2，1)，(4，1) ．其中面積為2的平行四邊形的個數為2，即為（2，3），（2，5）；（2，1），（2，3）．其中面積為3的平行四邊形的個數為2，即為（2，3），（4，3）；（2，1），（4，5）．其中面積為4的平行四邊形的個數為3即為（2，1），（2，5）；（4，1），（4，3）；（4，3），（4，5）．

剖析：計數問題中進行分類討論是很常見的，但像本例這樣通過面積的不同取值進行分類，反映了看問題的視角具有非常獨特的地方，面積不超過4的平行四邊形的個數是面積分別為1、2、3、4的平行四邊形的個數之和，看似簡單，但操作起來也有它不方便的地方，本題屬難題．

例3． 以邊長分別是4和2的矩形的一邊為軸旋轉一周所得旋轉體的體積是．

解析：16?仔或32?仔.當以長邊為軸旋轉一周所得旋轉體的體積是16?仔，當以短邊為軸旋轉一周所得旋轉體的體積是32?仔.

剖析：這是一個典型的根據圖形的不同位置進行分類的例子，有時畫圖決定結果，考生想當然的畫成某個樣子等于是給題目加了個條件，這一點應該特別注意．

例4． 已知函數f（x）=kx3-3kx2+b，在[-2，2]上的最小值為3，最大值為-17，求k、b的值．

解析：由題設知k≠0且f ′（x）=3kx（x-2）.

02時，x（x-2）>0；

x=0和x=2時，f ′（x）=0.

由題設知-2≤x≤2， f（-2）=-20k+b， f（0）=b， f（2）=-4k+b.

①k<0時，-20，

∴ f（x）在（-2，0）上單減，在（0，2）和上單增， x=0為f（x）的極小值點，也是最小值點.

∵f（-2）>f（2）.

∴f（x）的最大值是f（-2）.

解-20k+b=3，b=-17，解得k=-1，b=-17 .

②當k>0時，-2