盤點“零點”

對于函數y＝f（x），我們把使f（x）＝0的實數x叫做函數y＝f（x）的零點.

函數零點常用以下等價關系：

1. 函數y＝f（x）有零點?圳方程f（x）=0有實數根?圳函數y＝f（x）的圖像與x軸有交點.

2. 函數F（x）=f（x）-g（x）有零點?圳方程F（x）=f（x）-g（x）=0有實數根?圳方程組 y=f(x)，y=g(x)有實數根?圳函數y=f(x)與函數y=g(x)的圖像有交點.

函數零點是函數的重要性質，是溝通函數、方程、圖像的一個重要媒介.處理函數零點問題時，需充分運用等價轉化、函數與方程、數形結合等思想方法，對考生的綜合能力要求較高，因此函數零點問題已成為高考命題的一個熱點.本文就函數零點的幾種常見思路方法做一總結.

一、利用零點存在定理

零點存在定理：如果函數y＝f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數y＝f（x）在區間（a，b）內必有零點.

例1．（2011年全國Ⅰ高考題）函數f（x）＝ex＋4x－3的零點所在的一個區間是（）

A.（－■，0）B.（0，■）

C.（■，■）D.（■，■）

分析：因為f（－■）■＝e■-4＜0，f（0）＝e0－3＜0，f（■）＝e■－2＜0，f（■）＝e■－1＞0，所以函數f（x）＝ex＋4x－3的零點所在的一個區間是（■，■），故選C.

反思：判定函數零點所在區間，是近年高考的高頻考題，題目的難度相對較低，只需驗證端點函數值，比較其正負即可.判斷函數在某區間內是否存在零點，由零點存在定理要滿足兩條：其一，函數圖像在某區間上是連續不斷的曲線；其二，該函數在上述區間的兩個端點處的函數值之積小于零.即若f(a)·f(b)＜0，且f(x)在[a，b]內連續，則y=f(x)在區間內（a，b）一定有零點.但是，若f(a)·f(b)≥0，并不能說明f(x)在（a，b）內沒有零點.

二、利用函數圖像

函數零點問題的求解往往蘊涵著“數形結合”的數學思想方法，在解決有關函數零點的個數問題時，可以借助函數圖像的生動和直觀性來刻畫零點的個數，通過“形”的幾何特征發現“數”與“形”之間新的關系，從而將代數問題轉化為幾何問題.

例2．（2011年天津高考題）對實數a和b，定義運算“?茚”：a?茚b=a，a-b≤1b. a-b＞1 設函數f(x)=(x2-2)?茚(x-x2)，x∈R. 若函數y=f(x)-c的圖像與x軸恰有兩個公共點，則實數c的取值范圍是（）

A. ( -∞，-2]∪ -1，■B. ( -∞，-2]∪-1，-■

C. -1，■∪■，＋∞ D.-1，-■∪[■，＋∞)

分析：f（x）是分段函數. x2-2、x-x2分別相當于題設中的a、b，由定義運算，可以得到f（x）=x2-2，(x2-2)-(x-x2)≤1x-x2，(x2-2)-(x-x2)＞1

即f（x）=x2-2， -1≤x≤■x-x2.x＜-1或x≤■因為函數y=f(x)-c的圖像與x軸恰有兩個公共點?圳 f(x)-c=0有兩個解?圳y=f(x)與y=c的圖像有兩個不同的交點.仔細繪制出y=f(x)的圖像（如圖1所示），符合有兩個不同的交點的直線y＝c只可能在圖中①②區域上，即直線y＝c應介于 ( -∞，-2] 與-1，-■之間，所以實數c的取值范圍是( -∞，-2]∪-1，■，故選C.

反思：求兩曲線交點的個數問題本質為判斷函數零點的個數問題，這也是近年高考的高頻考題.在“數”中構“形”是數學問題求解的重要方法，也是重要的思維方法.由零點的概念可知，函數y=f(x)的零點?圳方程f(x)=0的根?圳函數y=f(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標.

三、利用參數分離法

參數分離法是解決參數取值范圍問題的重要手段，它將函數存在零點問題合理地轉化為函數的值域問題，從而簡化問題.

例3． 已知a是實數，函數f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函數y=f(x)在區間[1，-1]上有零點，求a的取值范圍.

分析：在思考此題時，往往從分類討論的角度尋求解題思路，解法較為復雜，很難兼顧全面（參見另解），而參數分離后構造新的函數則不然.

事實上，由f(x)=0，得(2x2-1)a=3-2x.∵x=±■不是方程的解（當x=±■時，等式不成立），∴原方程同解于a=■.

構造函數g(x)=■(-≤x≤1，x≠±■)，下求該函數的值域.

令3-2x=t，則1≤t≤5，t≠3±■，且x=■，故y=g(x)=■=■=■.∵2■≤t+■≤8，∴y≥1或y≤■，從而實數a的取值范圍是(-∞，■]∪[1，+∞).

反思：本解法先將a用x表示，體現了方程思想，然后將a視為x的函數，又體現了函數思想.理論依據是方程f(x)=a有解?圳參數a在函數f(x)的值域內取值.本題還可用導數方法求值域.此題利用化歸的思想方法將參數的取值范圍轉化為函數的值域問題，從而實現化難為易、化繁為簡的目的.

另解：當a=0時，若f(x)=0，則x=■?埸[-1，1]，故a≠0.

當a≠0時，若y=f(x)在區間[-1，1]上有1個零點，則f(-1)·f(1)≤0；

若y=f(x)在區間[-1，1]上有2個零點，

則 f(-1)≥0， f(1)≥0， f-■≤0，（見圖2）

或 f(-1)≤0， f(1)≤0， f-■≥0.（見圖3）

解得a≤■或a≥１.

評注：借助二次函數的圖像來解決較復雜的二次方程根的分布問題，可從二次函數的圖像與x軸交點個數、對稱軸位置、特殊點的正負幾個方面進行分析，當然更要注意二次項系數a的符號，畫準拋物線圖像，由確定函數圖像大致位置的約束條件，建立不等式組，進而將問題解決.

四、利用極值與單調性

曲線的交點和函數的零點的個數常常與函數的單調性與極值有關，解題時，還需要用圖像幫助思考，而求函數的單調性與極值以及畫函數圖像的有力工具就是導數.

例4． 已知函數f(x)=-x2+8x，g(x)=6lnx+m問：是否存在實數m，使得y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

分析：y=f(x)和y=g(x)的圖像有且只有三個不同的交點?圳y=f(x)和y=g(x)聯立構成的方程組有三組不同的解?圳消元后關于x的方程g(x)=f(x)有三個不同的實根?圳構造函數h(x)=g(x)-f(x)，函數h(x)有三個零點?圳y=h(x)的圖像和x軸有三個交點.最后用導數知識畫出h(x)的圖像，即可使問題得到解決.

由h(x)=x2-8x+6lnx+m(x＞0)，

得h′(x)=2x-8+■=■=■.

當x∈(0，1)∪(3，+∞)時，h′(x)＞0，故h(x)在(0，1)和(3，+∞)是增函數；

當x∈(1，3)時，h′(x)＜0，故h(x)在(1，3)是減函數.

h(x)極大值＝h(1)=m-7，h(x)極小值＝h(3)=m+6ln3-15.

又因為當x充分接近0時，h(x)＜0，當x充分大時，h(x)＞0.（見圖4）

所以要使h(x)的圖像與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只須h(x)極大值=m-7＞0，h(x)極小值=m+6ln3-15＜0，即7＜m＜15-6ln3

所以存在實數m，使得函數y=f(x)與y=g(x)的圖像有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7，15-6ln3).

反思：導函數f '（x）圖像的零點與原函數圖像的極值點對應關系：導函數f '（x）圖像的零點是原函數的極值點.如果在零點的左側為正，右側為負，則導函數的零點為原函數的極大值點；如果在零點的左側為負，右側為正，則導函數的零點為原函數的極小值點.本題也可以轉化為y=-x2+8x-6lnx與y=m圖像的交點個數，直接考查y=-x2+8x-6lnx的極值來探討其零點的個數.

綜合上述：解決函數零點問題不僅需要我們具備扎實的基礎知識和熟練的變形技巧，而且更需要我們具備靈活的數學思維，不斷變換觀察問題的角度，化難為易，化繁為簡.最后筆者再列舉幾例，供同學們練習和體會.

【鞏固訓練】

1. 函數f（x）＝2x＋3x的零點所在的一個區間是（）

A.（－2，－1）B.（－1，0）

C.（0，1）D.（1，2）

2. 函數f（x）＝■-cosx在[0，+∞）內（）

A. 沒有零點 B. 有且僅有一個零點

C. 有且僅有兩個零點 D. 有無窮多個零點

3. 已知函數f（x）=■，x≥2(x-1)3，x＜2若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是________.

4. 已知函數f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________.

5. 設f(x)=x3-■x2+6x-a函數. 若方程f(x)=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍.

【答案與提示】

1.B；2.B；3.（0，1）（提示：3. f（x）=■，(x≥2)

單調遞減且值域為（0，1]，f(x)=(x-1)3，(x＜2)單調遞增且值域為（－∞，1），f(x)=k有兩個不同的實根，則實數k的取值范圍是（0，1））.

4. ex-2x+a=0，即a=2x-ex∈(－∞，2ln2-2].

5. 極大值f(1)=■-a，極小值f(2)=2-a，當且僅當f(2)＞0或f(1)＜0時，解得a＜2或a＞■.

（作者單位：珠海市斗門區第一中學）

責任編校 徐國堅