數列中的數陣問題探究

數列是中學數學的重要模塊之一，也是高考的必考點、熱點和難點.除了傳統題型之外，各地的高考或模擬試題中數列問題的形式也在悄悄發生變化，成為數列問題中一道亮麗的風景線，數陣就是其中的一員，數陣的出現，使考查數列知識的問題背景有了較大的變化，讓我們感覺耳目一新.下面我們一起來領略數陣的風采，共同探討它的求解策略.

題目 數列1，2，3，4，5，6，… ，n，…是一個首項為1，公差為1的等差數列，其通項公式an=n，前n項和Sn=■.若將該數列排成如下的三角形數陣的形式

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

… … … … … … … …

根據以上排列規律，數陣中的第n行（n≥３）的第3個（從左至右）數是 .

分析 要求數陣中的第n行（n≥３）的第3個（從左至右）數，我們只要求出第n行的第1個數，然后再加2，就是要求的數.

解析 觀察上述三角形數陣容易發現，由每一行的第一個數1，2，4，7，11，... 構成的數列{an}有如下的規律：a2-a1=1， a3-a2=2，a4-a3=3 ，a5-a4=4，... ， an-an-1=n-1

將上述n-1個等式左右兩端分別相加，得an-a1=1+2+3+4+…+（n-1）=■，∴an=a1+■=■.

所以，數陣中的第n行（n≥３）的第3個（從左至右）數是■+2=■，故這里填“■”.

評注 上面運用了疊加法求出了數列{an}：1，2，4，7，11，…，n，… 的通項公式.

變式一 數列{an}中，a1=2，a5=10，an+2=2an+1-an（n∈N?鄢），把數列{an}中的各項排成三角形數陣的形式，記F（m，n）表示第m行的第n個（從左至右）數，若

F（m，n）+F（m+1，n+1）=90，則m+n= .

a1

a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9 a10

… … … … … … …

分析 要求F（m，n）及F（m+1，n+1），只要求出第m行的第一個數（從左至右），那么問題就迎刃而解了.

解析 ∵an+2=2an+1-an，∴數列{an}為等差數列，設公差為d，則a5=a1+4d．

∴d=2，∴ an=a1+（n－１）d＝２n．

若將數列{an}中的a1，a２，a４，a７，…看成一個新數列（即數陣中每行的第一個數），則此數列中的第m個數（m∈N?鄢）就是第m行的第一個數.

觀察上述數陣我們很容易發現，下標也成下列數陣的形式：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

… … … … … … … …

易知am=2·■=m２-m+2， 即第m行的第1個數.

∴F（m，n）=m２-m+2+（n－１）·２＝m２－m＋２n，

F（m+1，n+1）=（m+１）２－（m+１）+２（n＋１）＝m２＋m＋２n＋２，

∴F（m，n）＋F（m+1，n+1）=２m２＋４n+２=90，∴m２＋２n＝４４ 且m≥n.

易知，m２＋２n＝４４只有唯一正整數解m＝６，n＝４，所以，m＋n＝１０.

變式二 若將該數列1，2，3，4，5，6，…，n，…排成如下的形式

1

2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14 15

… … … … … … … … … …

給出下列問題，請回答：

（1）求第n行的最后一個數

（2）求第n行的各個數之和

（3）2012是第幾行的第幾個數

（4）是否存在n∈N?鄢使得從第n行起的連續10行的所有數之和為227+213-120？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由.

解析（1）方法一：(直接法)

第1行的最后一個數：1=21-1；第2行的最后一個數：3=22-1；第3行的最后一個數：7=23-1；第4行的最后一個數：15=24-1；…；第n行的最后一個數：2n-1.

方法二：（間接法）

因為第n行的最后一個數與第n+1行的第一個數相差1，因此，我們可以求出第n+1行的第一個數，然后再減去1，即第n行的最后一個數.

第1行的第一個數：1=20=21-1；第2行的第一個數 ：2=21=22-1；第3行的第一個數：4=22=23-1；第4行的第一個數 ：8=23=24-1；…；第n行的第一個數：2n-1；第n+1行的第一個數：2n.所以，第n行的最后一個數為2n-1.

（2）由（1）知第n行的第一個數2n-1 ，最后一個數為2n-1，所以第n行的各數之和=■=■.

（3）設2012是第n行中的數，由（2）知，第n行的第一個數為2n-1，最后一個數為2n-1.∵２１０＝１０２４，２１１＝２０４８，且１０２４ ＜２００８＜２０４８，∴n＝１１.

∴２００８－１０２４＋１＝９８５，所以2012是第11行的第989項.

（4）假設存在n∈N?鄢使得從第n行起的連續10行的所有數之和為２２７＋２１３－１２０．由（1）知，第n行的第一個數是2n-1，第n＋９行的最后一個數為２n＋９－１.所以，從第n行起的連續10行的所有數之和為■=２2n＋１７－２n＋８－２２n－３＋2n-２＝２２７＋２１３－１２０，所以n＝５.

變式三 觀察下面的數陣：

1

2 3 4

5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16

… … … … … … … … … …

第20行的第20（從左至右）個數是________.

（本變式請同學們自行回答，答案是“381”）

從數列到數陣，盡管數的排列形式發生了變化，但問題的實質仍然是數列問題，只要我們抓住每行首項，找準每行變化規律，從數陣中構造新數列，那么解決問題的思想和方法仍然不變，可謂“百變不離其宗”也！

鞏固練習

1. 把正整數排列成如圖甲的三角形數陣，然后擦去第偶數行中的奇數和第奇數行中的偶數，得到如圖乙的三角形數陣，再把圖乙中的數按從小到大的順序排成一列，得到一個數列{an}，若an＝２０１１，則n=_________．

答案1028．

2. 下表給出一個“三角形數陣”.

■

■ ■

■ ■ ■

……

已知每一列的數成等差數列；從第三行起，每一行的數成等比數列，每一行的公比都相等.記第i行第j列的數為aij（i≥j，i、j∈N?鄢）.

（1）求a83；

（2）試寫出aij關于i、j的表達式；

（3）記第n行的和為An，求數列{An}的前m項和Bn的表達式.

解析 （1）由題知，{ai1}成等差數列，因為a11=■，a21=■，

所以公差d=■，a81=■+（8-1）.■=2.又各行成等比數列，公比都相等，a31=■，a32=■，所以，每行的公比是q=■，故a83=2×■■=■.

（2）由（1）知，ai1=■+（i-1）■=■，所以aij＝ai1.■■=■.■■=i.■■.

（3）An=an11+■+■■+…+■■

=■2-■■=■-n■■.

Bm=■（1+2+…+m）-■（■+■+■+…+■）.

設Tm=■+■+■+…+■……① ， 則■Tm=■+■+■+…+■……②

由①-②，得■Tm=■+■+■+…+■-■=1-■-■=1-■，

所以，Bm=■·■-（1-■）=■+■-1.

（作者單位：江蘇省太倉高級中學）

責任編校 徐國堅