不等式考情透視與復習建議

不等式是中學數學的重點內容，也是學習高等數學的基礎知識和重要工具，一直是高考考查的重點和熱點，同時也是同學們學習的難點之一．高考試題以“實際為背景”“函數為背景”的居多，不僅測試有關不等式的基礎知識、基本技能和基本方法，而且還測試運算能力、邏輯推理能力及分析問題、解決問題的能力．從內容上看，選擇、填空題主要以不等式的基本性質、不等式的解法、基本不等式的應用和線性規劃為主，解答題主要以不等式與函數、數列、導數、解析幾何等知識交匯的問題為主，考查學生綜合數學知識和數學素養．近些年也不乏出現一些與不等式相關的新題型，通過本文的講解，同學們會對不等式的學習與復習，特別是應對2012年高考中不等式試題應該胸有成竹．

一、近五年廣東高考關于“不等式”考情透視

從上表可以看出，廣東高考關于不等式的試題分值文理都穩定在20分左右（2009年文科除外），不僅考查不等式的基本性質、不等式的解法、含絕對值的不等式、均值不等式及線性規劃問題等，而且不等式具有應用廣泛、變換靈活、知識綜合和能力復合等特點，使得不等式與函數、方程、數列、向量等其他知識交匯的比較多，這樣能更好的考查學生的綜合數學素養．足以看出，不等式在高考中所占的比例．

二、考點掃描與解析

為便于同學們更好的、全面的理解和掌握不等式在高考中的考查，下面主要以2011年全國各地高考中出現的不等式題目為例加以歸納和分析．

1． 不等式的基本性質

例1．下面四個條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是（ ）

A． a>b＋1 B． a>b－1 C． a2>b2 D． a3>b3

解析：對A項，若a>b＋1，則a－b>1，則a>b；若a>b，不能得到a>b＋1．對B項，若a>b－1，不能得到a>b；對C項，若a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到a>b；對D項，若a3>b3，則a>b，反之，若a>b，則a3>b3，a3>b3是a>b成立的充分必要條件，故選A．

點評：本題主要是以充要條件為載體考查不等式的基本性質，屬于簡單題.

2． 不等式的解法

例2． 不等式2x2-x-1>0的解集是（ ）

A． （-∞，-■）∪（1，+∞） B． （-1，1）∪（1，+∞） C． （1，+∞） D． （-■，1）

解析：2x2-x-1>0?圳（2x+1）（x-1）>0?圳x>1

或x<-■，選A.

點評：本題主要考查一元二次不等式的解法，屬簡單題.

例3． 不等式x+1-x-3≥0的解集是

.

解法1：①當x<-1時，x+1-x-3≥0

?圯-x-1+x-3≥0?圯-4≥0，矛盾；

②當-1≤x≤3時，x+1-x-3≥0?圯x+1+x-3≥0?圯2x-2≥0?圯x≥1，從而1≤x≤3；

③當x>3時，x+1-x-3≥0?圯x+1-x+3≥0?圯4≥0恒成立，從而x>3.

綜上所述，原不等式的解集為[1，+∞）.

解法2：x+1-x-3≥0?圳x+1≥x-3?圳（x+1）2≥（x-3）2?圳8x≥8?圳x≥1.

解法3：畫數軸，根據圖形易得不等式的解集為[1，+∞）.

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，考查分類討論和數形結合思想.絕對值不等式（主要是形如ax+b±cx+d≥（≤）e（a，c，e≠0））在選修4-5中學習，只對理科要求，對文科不作要求.

3．基本不等式及應用

例4． 若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是（ ）

A． a2+b2>2ab B． a+b≥2■

C． ■+■>■ D． ■+■≥2

解析：當a=b時排除A；當a<0，b<0時排除B與C，故選D.其實根據ab>0，知 ■>0，■>0?圯■+■≥2■=2.

點評：本題主要考查基本不等式使用的條件.

例5． 設x，y∈R，且xy≠0，則x2+■■+4y2的最小值為________．

解法1：x2+■■+4y2＝1＋4x2y2＋■＋4≥5＋2■＝9，當且僅當4x2y2＝■時，即x2y2＝■時“＝”成立．

解法2：利用柯西不等式：x2+■■+4y2≥x×■+■×2y2＝9，當且僅當4x2y2＝■，即x2y2＝■時等號成立．

點評：本題主要考查利用基本不等式或柯西不等式求最值.本題最容易出現如下錯誤解答：x2+■■+4y2≥2■·2■＝8.錯誤原因在于兩次使用均值不等式，等號不能同時取到.

4． 線性規劃問題

例6． 若變量x，y滿足約束條件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，則z＝x＋2y的最小值為_______．

解析：作出可行域如圖陰影部分所示，

由y=-2x+3，y=x-9，解得A(4，－5)．

當直線z＝x＋2y過A點時z取最小值，將A(4，－5)代入，得z＝4＋2×(－5)＝－6．

點評：本題直接考查線性規劃問題，是一道較為簡單的題．以數思形、以形輔數，準確作圖是解本題的關鍵．對形如z＝ax＋by型的目標函數，可先變形為y=-■x+■，■看作直線在y軸上的截距，問題化歸為求縱截距范圍的問題．難點在于通過作目標函數的一組平行線找最優解時，要特別注意目標函數的斜率與線性約束條件中某些分界線的直線的斜率較接近時，應認真比較，以找出準確的最優解．

本題最易出現如下錯誤解答：

因為3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9兩式相加得9≤3x≤18，即3≤x≤6；又由3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，得3≤2x+y≤9，-18≤-2x+2y≤-12，兩式相加得-5≤y≤-1，即有-10≤2y≤-2.

于是-7≤x+2y≤4，即z＝x＋2y的最小值為-7.

錯因分析：顯然，當x=3，y=-5時，z＝x＋2y=-7，但此時2x+y=1?埸[３，９]. 原因是錯誤把a>b，c>d是a+c>b+d的充分不必要條件當成充要條件了.

簡解：設x+2y=?姿（2x+y）+ ?滋（x-y），則1=2?姿+?滋，2=?姿-?滋?圯?姿=1，?滋=-1.于是由2x+y∈[3，9]，x-y∈[6，9]得x+2y=（2x+y）-（x-y）∈[3，9]+[-9，-6]=[-6，3]，即z＝x＋2y的最小值為-6.

例7． 已知平面直角坐標系xOy上的區域D由不等式組0≤x≤■，y≤2，x≤■y給定．若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為(■，1)，則z＝■·■的最大值為( )

A． 4■ B． 3■ C． 4 D． 3

解析：z＝■·■＝(x，y)·(■，1)＝■x＋y，畫出不等式組表示的區域如下圖所示，顯然當z＝■x＋y經過B(■，2)時，z取最大值，即zmax＝2＋2＝4．

點評：本題是一個線性規劃問題，但在設計目標函數時卻巧妙的利用了向量的數量積，使問題新穎別致，提升了檔次，但又不失常規.

5． 以函數的定義域與集合的運算為背景考查不等式的解法

例8． 設集合M＝{x|(x＋3)(x－2)<0}，N＝{x|1≤x≤3}，則M∩N＝( )

A．[1，2) B．[1，2] C．(2，3] D．[2，3]

解析：由解不等式知識知M＝{x|－3＜x＜2}，又N＝{x|1≤x≤3}，所以M∩N＝{x|1≤x＜2}．選A.

例9． 函數f(x)＝■＋lg(1＋x)的定義域是( )

A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)

C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析：要使函數有意義，必須滿足1-x≠0，1+x>0，所以所求定義域為{x|x>－1且x≠1}，故選C．

6．以應用題為載體考查基本不等式

例10． 某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元，若每批生產x件，則平均倉儲時間為■天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品( )

A． 60件 B． 80件 C． 100件 D． 120件

解析：記平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為f(x)，則f(x)＝■＝■＋■≥

2■＝20，當且僅當■=■，即x＝80件(x>0)時，取最小值，故選B．

點評：本題主要考查考生將實際問題轉化為數學問題的能力，考查基本不等式求最值，考查考生綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，屬于簡單題型.

例11． 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．

(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；

(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)

解析：(1)由題意：當0≤x≤20時， v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b．

再由已知得200a+b=0，20a+b=60，解得a=－■，b=■，

故函數v(x)的表達式為：

v(x)＝60， 0≤x<20■（200-x）. 20≤x≤200

(2)依題意并由(1)可得：

f(x)＝60x， 0≤x<20■x（200-x）. 20≤x≤200

當0≤x≤20時， f(x)為增函數，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1200；

當20≤x≤200時， f(x)＝■x(200－x)≤■■2 ＝■．當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等號成立．

所以，當x＝100時，f(x)在區間[20，200]上取得最大值■．

綜上，當x＝100時，f(x)在區間[0，200]上取得最大值■≈3333．

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．

點評：本題主要考查數學建模能力，考查分類討論思想和均值不等式等.

7． 與三角、復數等相交匯的不等式問題

例12． 設集合M＝{y|y=|cos2x-sin2x|，x∈R}，N＝{x||x-■|<■，i為虛數單位，x∈R}，則M∩N為( )

A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1]

解析：由已知得y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|∈[0，1]，所以M=[0，1]；因為|x-■|<■，所以|x+i|<■，即|x-(-i)|<■，又因為x∈R，所以-1

點評：本題集三角函數、復數的模、不等式等知識點于一體，難度雖然不大，但綜合性強，其中確定出集合的元素是解此題的關鍵.

8． 比較大小

例13． 已知a=5log23.4， b=5log43.6， c=■log40.3，則( )

A． a>b>c B． b>a>c C. a>c>b D. c>a>b

解析：令m=log23.4，n=log43.6，l=log3■，在同一坐標系下作出三個函數的圖像（如下圖），由圖像可得m>l>n，又∵y=5x為單調遞增函數，∴ a>c>b．

點評：本題主要考查指數函數與對數函數的性質及不等式大小比較的方法．比較大小一般利用作差法，但利用函數的單調性就更加方便．

9． 恒成立問題

例14． 設f(x)=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f(x)≤f(■)對一切x∈R恒成立，則：①f(■)=0；②f(■)＜f(■)；③f(x)既不是奇函數也不是偶函數；④f(x)的單調遞增區間是k?仔+■，k?仔+■（k∈Z）；⑤存在經過點（a，b）的直線與函數f(x)的圖像不相交.

以上結論正確的是 （寫出所有正確結論的編號）．

解析： f(x)＝asin2x＋bcos2x＝■sin(2x＋φ)sinφ=■，cosφ=■，因為對一切x∈R時，f(x)≤f(■)恒成立，所以sin■+φ=±1，故φ＝2kπ＋■或φ＝2kπ－■(k∈Z)．

故f(x)＝■sin2x+■，或f(x)＝-■

sin2x+■.

對于①，f(■)＝■sin2π＝0，或f(■)＝－■sin2π＝0，故①正確；

對于②，f(■)＝■sin(■＋■)＝■sin■＝■sin■，f(■)＝■sin(■＋■)=■sin■=■sin■．所以＝f(■)＝f(■)，故②錯誤；

對于③，由解析式f(x)＝■sin(2x＋■)，或f(x)＝－■sin(2x＋■)知其既不是奇函數也不是偶函數，故③正確；

對于④，當f(x)＝sin■sin(2x＋■)時，kπ+■，kπ+■(k∈Z)是f(x)的單調遞減區間，故④錯誤；

對于⑤，要使經過點（a，b）的直線與函數f(x)的圖像不相交，則此直線須與橫軸平行，且b>■，此時平方得b2>a2+b2，這不可能，矛盾，故不存在過點（a，b）的直線與函數f(x)的圖像不相交，故⑤錯．

點評：本題考查輔助角公式的應用，考查基本不等式，考查三角函數求值，考查三角函數的單調性以及三角函數的圖像．一般的不等式恒成立問題都是給出含有一個參數的不等式，以不等式恒成立為條件，確定參數的范圍，而本題則是給出含有兩個參數a，b，并要求在不等式恒成立的條件下，判斷幾個結論，題設條件和解題目標都發生了變化.同時，本題又在通過恒成立，確定a，b之間的關系的過程中，運用基本不等式進一步精確二者的關系，從而使a，b之間的不等關系轉化為相等關系，為判斷結論創造了條件.

例15. 設f(x)＝■，其中a為正實數．

(1)當a＝■時，求f(x)的極值點；

(2) 若f(x)為R上的單調函數，求a的取值范圍．

解析：（1）略；

(2) 對f(x)求導得f′(x)＝ex■．…①

若f(x)為R上的單調函數，則f′(x)在R上不變號，結合①與條件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結合a>0，知0＜a≤1．

點評：本題考查導數的運算，極值點的判斷，導數符號與函數單調性之間的關系，求解一元二次不等式等基本知識，考查運算求解能力，綜合分析和解決問題的能力．第（1）問是一個常規的求極值的問題，第（2）問從表面上看是一個使f(x)為R上的單調函數參數范圍，但是解決這個問題的實質是f′(x) ≥0在R上恒成立的問題.

10． 不等式證明

例17．(1)設函數f(x)＝ln(1＋x)－■，證明：當x>0時，f(x)>0；

(2)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張，然后放回，用這種方式連續抽取20次，設抽得的20個號碼互不相同的概率為p．證明：p<■19<■．

解析：(1)f′(x)＝■-■=■-■=■．

當x>0時，f′(x)>0，所以f(x)為增函數，所以f(x)>f(0)，又f(0)＝0．因此當x>0時，f(x)>0．

(2)p＝■．又99×81<902，98×82<902，…，91×89<902，

所以p<■19．由(1)知：當x>0時，ln(1＋x)>■．因此，1+■ln(1＋x)>2．

在上式中，令x＝■，則19ln■>2，即■19>e2，所以p<■19<■．

點評：本題集導數、概率與不等式為一體的綜合性試題，主要考查導數的應用和利用導數證明不等式．考查考生綜合運用知識的能力及分類討論的思想，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力．第(1)問是用導數證明不等式，這一結果也是為第(2)問做準備的.第(2)問是一個概率不等式證明，求概率p并不困難，關鍵是如何證明關于p的不等式p<■19<■.導數常作為高考的壓軸題，對考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎知識、基本技能，還要求考生具有較強的分析能力和計算能力，估計以后對導數的考查力度不會減弱．作為壓軸題，主要是涉及利用導數求最值解決恒成立問題，利用導數證明不等式等，有時還伴隨對參數的討論，這也是難點之所在．

三、命題趨勢及復習建議

1. 命題趨勢

(1)不等式知識仍將是高考數學的重點考查內容之一，選填題和解答題都將含有不等式的試題.

(2)含不等式的試題的難度在易、中、難三個層次中都將有所體現，所以高考對不等式的考查是對學生進行全面考查的手段之一.

(3)單獨考察不等式的知識，一般只會出現在容易題部分，大多數是在與函數（含導數）、數列、解析幾何以及三角函數等知識的結合交匯處命題.

(4)以不等式為載體，繼續考查數學思想和數學方法.比如，對不等式證明題的考查，可以考查比較法、分析法、綜合法、反證法和放縮法，2011年廣東理科第22題和文科第20題用分析法和放縮法解決就比較順暢些.再比如解決含參數的不等式的問題時，則需要用到分類討論、轉化與歸納等數學思想.

2. 復習建議

(1)加強對不等式基本性質的理解和掌握.萬丈高樓平地起，基礎是關鍵.不論含不等式的試題怎樣變化，其構成最主要的部分就是不等式的基本性質!建議同學們在復習時一定要務本求實，深刻理解不等式基本性質的涵義，掌握其適用條件，能準確靈活變形，力爭達到運用自如，融會貫通的程度.

(2)熟練掌握解不等式的基本技能和方法.解不等式是最基本的運算能力和基本技能，在高考試題中任何題型中都會出現.在解不等式中要注意“同解變形”(如分式不等式、對數不等式、含絕對值的不等式等)，要通過定時定量訓練提高解不等式的準確性和簡捷性，要通過錯因分析和解后反思，來糾正自己在解題中存在的一些頑疾和陋習.

(3)注意含參數的不等式試題的訓練.含參數的不等式問題是近幾年高考的熱點，也是同學們感到比較困難的題型，其解題涉及到函數與方程思想、分類討論思想以及無理式的運算等.要有知難而進的勇氣，分類要恰當，討論要嚴謹，力爭做到不重不漏.

(4)要重視線性規劃問題.線性規劃是高考常考內容之一，因為線性規劃問題在工農業生產實踐中有著廣泛的應用。同時體現了數形結合理念.解線性規劃問題要注意可行域的確定，還要重視目標函數新的形式的出現，如求z=■，z=x2+y2的最值等.

(5)加強對絕對值不等式的訓練.含絕對值不等式是近幾年理科高考常考內容之一，要求學生要熟練掌握含絕對值不等式的性質、意義和有關公式，會通過分步討論脫掉絕對值.

(6)重視不等式證明問題.不等式的證明雖說無定法，但有常法.要掌握證明不等式的通法常法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等，特別要重視數學歸納法和放縮法的運用.尤其是放縮法，有個防縮尺度問題，不是一朝一夕就能學會的，需要同學們多加練習，只有持之以恒的訓練，才能逐漸掌握，最終達到駕輕就熟的程度.

(7)重視數學思想的運用.要提高數學意思，在平時的練習中，大家就要多思考一下，本題都考到了哪些數學思想和方法，這些思想方法都起到哪些作用，在什么情況下可以運用這些方法等.

（作者單位：深圳市南頭中學）

責任編校 徐國堅