2011年高考線性規劃的考查特點
2011-12-31 00:00:00姚國興
廣東教育·高中 2011年12期
我們知道，線性規劃是高中數學中一塊相對獨立的內容，在高考中，一般考查的概率較大，通常情況下，以考查目標函數的最值為主.
我們仔細分析了2011年高考全國各地的理科試題，發現共有全國課標第13題、湖北第8題、第10題、四川第9題、浙江第5題、福建第8題、安徽第4題、湖南第7題、廣東第5題和第21（3）（部分）題考查線性規劃問題，認真研究這些高考題可以歸納如下的考查特點.
考查特點1：常規題型
這類考題是考生在平時的學習中已有訓練的能非常熟練解決的問題，通常是作出可行域、按照最值模型解決.
例1．（1）若變量x，y滿足約束條件3≤2x+y≤9，6≤x-y≤9，則z=x+2y的最小值為 .
（2）設變量x，y滿足｜x｜＋｜y｜≤1，則x+2y的最大值和最小值分別為（ ）
A． 1，-1 B． 2，-2 C． 1，-2 D． 2，-1
（3）設實數x，y滿足不等式x＋2y-5>0，2x＋y-7>0，x≥0，y≥0，且x，y為整數，則3x+4y的最小值為（ ）
A． 14 B． 16 C． 17 D． 19
（4）設m>1，在約束條件y≥x，y≤mx，x+y≤1下，目標函數z=x+mx的最大值小于2，則m的取值范圍為（ ）
A． （1，1+■） B． （1+■，＋∞）
C． （１，３） D． （３，＋∞）
解析：（1）作出不等式表示的可行域如圖1（陰影部分），易知直線z=x+2y過點B時，z有最小值.由x-y=9，2x+y≤3，得x=4，y=-5，所以zmin=4+2×(-5)=-6.
(2) ｜x｜＋｜y｜≤1表示的平面區域如圖2（陰影部分），設z=x+2y，作l0∶x+2y=0，把l0向右上和左下平移，易知：當l過點（0，1）時，z有最大值zmax=0+2×1=2；當l過點（0，1）時，z有最大值，zmin=0+2×（-1）=-2.
評注：（1）和（2）是線性規劃問題是最基礎、最基本、最典型的求線性目標函數最值問題，其基本解題思路是作出可行域、平行移動目標函數即可.實際上，還有另兩類比較典型的問題，一是直線兩點斜率型，即形如目標函數為z=■，可看成是過可行域內點(x，y)與定點(a，b)的直線的斜率；二是兩點距離型，即形如目標函數為z=（x-a）2+（y-b)2，可看成是過可行域內點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方.
（3）作出可行域如圖3（陰影部分），點A(3，1)不在可行域內，利用網格易得點(4，1)符合條件，故3x+4y的最小值是3×4+4×1=16.
評注：①本題若不注意邊界的取到與否，則比較容易錯選成A.因此，在作可行域時，一定要注意約束條件中不等式是否含有等號，若含有等號，則包含邊界，表現為直線是實線型，若不等式中不含有等號，則不包含邊界，表現為直線是虛線型.②本題是一類整點問題，與之前（1）和（2）題有明顯的區別，因此，不能簡單的考慮平移就行，因為最優解必須是整點了，但解決方法與（1）和（2）題還是類似的，即若平移得到的最優解是整點，則問題解決，否則，在（1）和（2）題基礎上再進一步思考，采用“網格法”等策略即可求解.
（4）根據約束條件畫出可行域如圖4（陰影部分），通過平移可以發現，當目標函數過y=mx與x+y=1的交點時取到最大值.聯立y=mx，x+y=1，得交點坐標為（■，■）．將其代入目標函數得zmax=■.由題意可得■<2，又m>1，解得1 評注：本題的本質與（1）（2）題一致，即求線性目標函數的最值，只不過本題約束條件中加入了參數m，使考生在分析問題時稍難一點而已，當然，之后又結合了解不等式問題. 小結：從前面四道題的解析可以看出，求解線性規劃問題的第一步是正確作出約束條件下的可行域，然后借助圖形（實際就是數形結合思想）確定函數最值的取值位置，并求出最值. 例2． 某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每輛乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元.該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數，可得最大利潤z=（ ） A． 4650元 B． 4700元 C． 4900元 D． 5000元 解析：因為在題中沒有變量，所以需要考生先根據題意設出變量，即設當天派用甲型卡x車輛，乙型卡車y輛，然后找出關系，由題意得2x+y≤19，x+y≤12，10x+6y≥72，0≤x≤8，0≤y≤7，x，y∈N， 設每天的利潤為z元，則z=450x+350y，接下去就是與之前的例題一樣的實施解題，不具體展開了，在x=7，y=5時，z取到最大值zmax=450×7+350×5=4900. 評注：本題是一道“真正意義”上的線性規劃問題，即是解決實際問題的應用題，解決的基本方法是根據題意，設出變量，建立目標函數，并列出相互關系圖（表），從而得到線性約束條件，這樣，就將問題化歸成例1型問題的解決了，當然，最后還需從實際問題的角度審查最值，進而作答. 考查特點2：目標函數隱性化型 這類考題是通過其他數學知識，將考生比較熟悉的線性目標函數“隱性化”（比較多的會是利用向量運算），即不是直接給出，而需要考生通過自己的分析、理解、解決才能化出線性目標函數的問題. 例3． （1）已知向量■=（x+z，3），■=(2，y-z)，且■⊥■.若x，y滿足不等式｜x｜＋｜y｜≤1，則z的取值范圍為（ ） A． ［－２，2］ B． ［－２，3］C． ［－3，2］ D． ［－3，3］ （2）已知O是原點，點A（－１，１），若點Ｍ（x，y）為平面區域x+y≥2，x≤1，y≤2上的一個動點，則■· ■的取值范圍是（ ） A． ［－1，0］ B． ［0，1］ C． ［0，2］ D． ［-1，2］ （3）已知平面直角坐標系xＯy上的區域D由不等式組0≤x≤■，y≤2，x≤■y給定，若M(x，y)為D上的動點，點A的坐標為（■，1），則z=■·■的最大值為（ ） A． 4 ■ B． 3 ■ C． 4 D． 3 解析：這三道考題無一例外的都將目標函數通過向量的運算“隱藏”起來，因此，只要將目標函數找出來，問題就化歸為之前分析的了. （1）因為■⊥■，所以■·■=2(x+z)+3(y-z)=0，解得z=2x+3y； （2）■· ■=-x+y； （3）z=■·■=■x+y. 這樣，問題就是“標準型”線性規劃問題了，解題過程可參照前面，答案依次為D、C、C. 評注：該類問題解決時，首先要將問題化為“標準型”線性規劃問題，因此，在化目標函數時一定要仔細，避免錯誤，否則，必將導致最后的錯誤. 考查特點3：線性規劃交匯在其他知識型 該類問題初看時，根本看不出是一個線性規劃問題，但當隨著解題的深入后，我們可以發現，問題就成為了線性規劃. 例4． 設m，k為整數，方程mx2-kx＋２＝０在區間（０，１）內有兩個不同的根，則m+k的最小值為（ ） A. -8 B. 8 C. 12 D. 13 解析：方程mx2-kx＋２＝０在區間（０，１）內有兩個不同的根可轉化為二次函數f(x)＝mx2－kx＋２＝０在區間（０，１）有兩個不同的零點，因為f(０)＝2，故需滿足?葒=k2-8m>0，0<■<1，m>0，f(1)＝m－k＋２>０，即k2-8m，m>0，0 評注：本題原本是一道方程根的問題，但在用二次函數零點問題轉化后，原問題就成為一個線性規劃問題.一般地，一元二次函數的零點、一元二次方程根的分布、三次函數的有關導數問題都可以與線性規劃結合考查. 另外，廣東21（3）題中，在得到區域D后，也是用線性規劃的知識解決，這里不再展開. 高考復習建議： 從2011年高考試題可以看出，線性規劃考題一般在高考中以考查目標函數的最值為重點，通常是選擇題、填空題類客觀題為主，偶爾出現線性規劃在實際問題中應用的考題，有時也同其他知識結合命題；雖然在2011年高考中沒有考查求可行域的面積、求最優解及其最優解的個數問題，但在復習中我們也是應該注意的.歷年高考題的知識點主要為：求給定可行域的最優解（包括最大、最小及最優整數解）和求給定可行域的面積，有時還出現求目標函數中參數的范圍，均以容易題、中檔題為主. 總的來說，線性規劃實質上是“數形”形思想的一種體現，即將最值問題直觀、簡便地尋找出來，是一種較為簡捷的求最值的方法.其具體操作步驟是： （1）根據題意，設出變量，建立目標函數，并列出相互關系圖（表）； （2）列出線性約束條件； （3）借助圖形確定函數最值的取值位置，并求出最值； （4）從實際問題的角度審查最值，進而作答. （作者單位：浙江省紹興縣越崎中學） 責任編校 徐國堅
