排列、組合、二項式定理專題復習策略

根據高考試題的現狀和發展趨勢，在排列、組合、二項定理專題復習中應做到以下幾個方面：

1． 立足基礎知識和基本方法的復習．恰當選取典型例題，構建思維模式，造就思維依托和思維的合理定勢，如對排列應用題可用①某元素排在某位置上；②某元素不排在某位置上；③某幾個元素排在一起；④某幾個元素不得相鄰；⑤某幾個元素順序一定等基本問題，加強思維的規范訓練．

2． 抓好訓練，為提高能力、運用變式題目，常規題向典型問題的轉化，進行多種解法訓練，從不同角度、不同側面對題目進行全面分析，結合典型的錯解分析，查找思維的缺陷，提高分析、解決問題的能力．

3． 抓好“操作”訓練，就是面對問題，具體排一排、選一選，運用分類計數原理和分步計數原理為“完成這件事”設計合理的程序或分類標準，注意加強解題過程的展示與分析．

4． 加強數學思想方法的訓練．數學思想方法是高考的重要內容．分類討論、轉化思想、整體思想、正難則反等數學思想在本章試題中經?？疾?，需要平時經常歸納總結．

5． 對二項式定理內容的復習要加強目標意識和構造意識，要注意展開式的通項公式正、反兩方面的應用.

（一）排列、組合、二項式定理應用問題中的主要數學思想

1． 轉化與化歸數學思想

例1 新年將至，某班四名同學各寫了一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（ ）

A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種

分析 建立數學模型轉化為數學問題:用1，2，3，4這四個數字組成沒有重復的四位數，其中1不在個位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位數共有多少個?那么這個問題就容易解決了.

解析 個位只能放2，3，4有三種，在放過數字2后，十位只能放1，3，4又有三種，最后百位和千位只有一種放法，由乘法原理得共有3×3=9種.

點評 本題屬于排列組合中的數學模型的轉化問題，在具體方法上是運用了“轉化與化歸數學思想”.

2． 分類討論數學思想

例2 已知f是集合M＝{a，b，c，d}到集合N＝{0，1，2}的映射，則滿足f(a)＋f(b)＋f(c)＋f(d)＝4的不同映射的概率為______．

分析 本題屬于考察利用組合知識求概率的問題，在具體方法上應運用分類討論思想解決.

解析 根據a、b、c、d對應的象為2的個數來分類，可分為三類．第一類：沒有元素的象為2，其和又為4，必然其象均為1，這樣的映射只一個．第二類：一個元素的象是2，其余三個元素的象必為0，1，1.這樣的映射有C14C23＝12個．第三類：兩個元素的象是2，另兩個元素的象必為0，這樣的映射有C24＝6個．故總共有1＋12＋6＝19個滿足條件的映射．又從集合M＝{a，b，c，d}到集合N＝{0，1，2}的映射總共有34=81個，所以所求概率為■.

點評 關鍵是確定問題的本質特征“分類”，從而運用分類計數原理求解．恰當地確定分類標準是解本題的關鍵．

例3 在所有的兩位數中，個位數字大于十位數字的兩位數共有多少個？

分析 該問題與計數有關，可考慮選用兩個基本原理來計算，完成這件事，只要兩位數的個位、十位

確定了，這件事就算完成了，因此可考慮安排十位上的數字情況進行分類．

解析 方法一：按十位數上的數字分別是1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．

由分類加法計數原理知，符合題意的兩位數的個數共有：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36個．

方法二：按個位數字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數分別有1個、2個、3個、4個、5個、6個、7個、8個，所以按分類計數原理共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36個．

點評 分類計數原理是對涉及完成某一件事的不同方法種數的計數方法，每一類的各種方法都是相互獨立的，每一類中的每一種方法都可以獨立完成這件事．解決該類問題應從簡單入手分類討論，要做到不重不漏，盡量做到一題多解，從不同的角度考慮問題．

3． 函數與方程的思想

例4 已知f(x)=（１＋２x）m+（１＋4x）n（m，、n∈N?鄢）的展開式中含項的系數為36，求展開式中含x2項的系數最小值.

分析 展開式中含x2項的系數是關于m，n的關系式，由展開式中含x項的系數為36，可得2m+4n=36，從而轉化為關于m或n的二次函數求解.

解析 （１＋２x）m+（１＋4x）n展開式中含x的項為C１m·２x＋C１n·4x=（２C１m·＋4C１n）x，

∴（２C１m＋4C１n）＝３６，即m+２n=１８，（１＋２x）m+（１＋4x）n展開式中含x2的項的系數為t=C2m22+C2n42=2m2-2m+8n2-8n.

∵m+2n=18，∴m=18-2n，∴t=2（１８－2n）２－２（１８－2n）＋８n2－８n＝１６n2－１４８n＋６１２＝１６（n2－■n＋■），∴當n=

■時，t取最小值，但n∈N?鄢，

∴ n=5時，t即x2項的系數最小，最小值為272，此時n=5，m=8．

點評 在二項式的展開式中，每一項的系數與它的二項式系數是不同的．求解中若不注意這一點，就會產生錯誤．利用函數與方程的觀點建立關于n的方程或函數是二項式展開式中有關系數應用的一大特點.本題求解時注意：是求展開式中含x2項的系數的最小值，而不是求展開式中含x2項的二項式系數的最小值．

4． 整體思想和正難則反思想

例5 六人按下列要求站一橫排，（1）甲、乙必須相鄰，有多少種不同的站法？（2）甲不站左端，乙不站右端，又有多少種不同的站法？

分析 (1) 相鄰問題用“捆綁法”即整體思想處理；(2)正難則反用“間接法”處理．

解析 先把甲、乙作為一個“整體”，看作一個人，和其余4人進行全排列有A55種站法，再把甲、乙進行全排列，有A22種站法，根據分步計數原理，共有A55A22=240種站法．

（2）甲站在左端的站法有A55種站法，乙站在右端的站法也有A55種站法，且甲站左端而乙站右端的站法A44種站法，故共有A66－2A55＋A44=504種站法.

點評 排列問題的本質就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”．對于這類問題在分析時，主要按“優先”原則，即優先安排特殊元素或優先滿足特殊位子．對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”，如本題(1)．當正面求解較困難時，也可用“間接法”，如本題(2)．

（二）典題分析

1． 計數原理中的分類與分步問題

例6 現從高二四個班的學生中選出34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數學課外小組．

(1)選其中一個為負責人，有多少種不同的選法？

(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？

(3)推選兩人作中心發言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

分析 這是個分類和分步計數原理的綜合問題，(1)是分類計數原理，(2)是分步計數原理，(3)是分類與分步的綜合．

解析 (1)分四類，第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生中選1人，有10種選法，所以共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34種．

(2)分四步，第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長，所以共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040種．

(3)分六類，每類又分兩步，從一班、二班學生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學生中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四班學生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有9×10種不同的選法，所以共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431種．

點評 綜合問題，要清楚是分類還是分步，對于有限制條件的排列應用題，要恰當地確定分類與分步的標準，防止重復與遺漏．

2． 有附加條件的組合問題

例7 如下圖，有11個劃船運動員，其中右舷手4人，左舷手5人，還有甲、乙二人左、右都能劃，現在選8人組成一個劃船隊參加競賽(左、右各4人)，有多少種安排方法？

分析 本小題考查有附加條件的組合問題的處理方法及正確分類靈活處理問題能力．

解析 解法一：按右舷手安排，情況分為三類：右舷手4人都選入有C44C47種；

右舷手選3人，則甲、乙選一人做右舷手，再選4人做左舷手，方法數為C34C12C46；右舷手選2人，同理得方法數為C24C22C45.

由分類計數原理得安排方法共有C44C47＋C34C12C46＋C24C22C45＝185種．

解法二：按左舷手安排，情況也可分三類，思考方法同解法一，共有C45C46＋C35C12C45＋C25C22C44＝185種安排方法．

解法三：按甲、乙安排情況可分六類：

(1)甲、乙都不入選，方法有C44C45種；

(2)甲、乙有1人入選做右舷手，方法有C34C12C45種；

(3)甲、乙有1人入選做左舷手，方法有C44C12C35種；

(4)甲、乙兩人都入選做右舷手，方法有C24C22C45種；

(5)甲、乙兩人都入選做左舷手，方法有C25C22C44種；

(6)甲、乙兩人都入選分別做左、右舷手，方法有C35C34C12種．

由分類計數原理得：C44C45＋C34C12C45＋C44C15C35＋C24C22C45＋C25C22C44＋C35C34C12＝185種．

點評 按照一個標準分類是正確處理這類問題的關鍵．要做到不重復、不遺漏，可以看到解法一、解法二兩種方法較好．

3. 求展開式中的系數問題

二項式系數是指二項展開式中出現的組合數Crn（r＝０，１，２，…），系數是指每一項前的系數，注意它們的區別，要正確運用通項公式和基本定理.

例8 （１－２x）n展開式中第6項與第7項的系數的絕對值相等，求展開式中系數最大的項和系數絕對值最大的項.

分析 先求出n的值，再由二項式系數的最大項是“最中間”的項，求出二項式系數的最大項.利用不等式組求系數絕對值最大項.

解析 T５＋１＝C５n（－２x）５，T６＋１＝C６n（－２x）６，依題意有C５n２５＝C6n２６，∴n=8.則（１－２x）n展開式中二項式系數最大的項為T５＝C４８（－２x）４＝１１２０x.

設第r+1項系數的絕對值最大，則有Cr82■≥Cr-182■，Cr82■≥Cr+182■?圯5≤r≤6，又∵r∈Z，∴r＝５或r＝６.

則系數絕對值最大項為T６＝1792x5，T７＝1792x６.

點評 求展開式中某一項或某一項的系數問題是高考題型之一，復習時要給予重視.

4． 求展開式中有關系數和的問題

例9 已知（１－３x）８＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8.

求：(1)a1＋a2 +…+a8；(2)a1＋a３＋a５＋a７；(3)a0＋a2＋a４＋＋a６＋a8；(4)a0＋a１＋a２+…+a８.

分析 因為求的是展開式的系數和，所以可用賦值法求解．

解析 令x＝1，則a0+a１＋a2＋a３＋a４＋a５＋a６＋a７＋a８＝２８……①

令x＝－1，則a0－a１＋a2－a３＋a４－a５＋a６－a７＋a８＝４８……②

(1)∵a0＝１，∴a１＋a2＋a３＋a４＋a５＋a６＋a７＋a８＝２８－１.

(2)(①－②)÷2，得a１＋a３＋a５＋a７＝■.

(3)(①＋②)÷2，得a0+a２＋a４＋＋a６＋a８＝■.

(4)∵（１－３x）８展開式中，a0，a２，a４，a６，a８的系數都大于零，而a１，a３，a５，a７的系數都小于零，

∴a0＋a１＋a２+…+a８＝a0+a２＋a４＋＋a６＋a８－(a１＋a３＋a５＋a７)，

∴由(2)(3)即可得其值為４８.

點評 本題采用的是“賦值法”，它普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，在解有關問題時，經常要用到這種方法．對形如（ax＋b）n 、（ax２＋bx＋c）m (a，b，c∈R，m，n∈N?鄢)的式子求其展開式的各項系數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對 （ax＋by）n(a，b∈R，n∈N?鄢)的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y＝1即可．

一般地，若f（x）=a0＋a１x＋a2x２+…+anxn，則f（x）展開式中各項系數之和為f（1），奇數項系數之和為a0+a２＋a４+…＝■，偶數項系數之和為a１+a3＋a5+…＝■.

（三）2012年高考預測與復習建議

預測：

1． 有關排列、組合的綜合應用問題.這種問題重點考查邏輯思維能力，它一般有一至兩個附加條件，此附加條件有鮮明的特色，是解題的關鍵所在；而且此類問題一般都有多種解法，平時注意訓練一題多解；它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于中等偏難（理科）的題目.

2． 有關二項式定理的通項式和二項式系數性質的問題.這種問題重點考查運算能力，特別是有關指數運算法則的運用，同時還要注意理解其基本概念，它一般以一道選擇題或填空題的形式出現，屬于基礎題.

復習建議：

1． 對于分類計數原理，要重點抓住“類”字，應用時要注意“類”及“類”之間的獨立性和并列性，對于分步計數原理，要重點抓住“步”字，應用時要注意“步”與“步”之間的相依性和連續性，對于稍復雜的問題，常常結合相關知識混合使用兩個計數原理．

2． 解排列、組合混合題一般是先選元素、后排元素、或充分利用元素的性質進行分類、分步，再利用兩個基本原理作最后處理．

3． 對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應做到不重不漏．

4．對于選擇題要謹慎處理，注意等價答案的不同形式，處理這類選擇題可采用排除法分析答案的形式，錯誤的答案都是犯有重復或遺漏的錯誤．

5． 對于分配問題，解決的關鍵是要搞清楚事件是否與順序有關，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數的重復或遺漏．

6． 排列組合題的主要解題方法：相鄰問題，整體處理；全不相鄰，插空處理；不全相鄰，剔除處理；相間問題，定位處理；均勻分堆，除法處理；非均勻分堆，組合處理；定額分配，組合處理；隨機分配，先組后排；至少問題，間接處理；選排問題，先取后排；相同元素的分配問題，隔板處理；分排問題，直排處理.

7． 要把“二項式系數的和”與“各項系數和”，“奇(偶)數項系數和與奇(偶)次項系數和”嚴格地區別開來．

（1）求展開式中各項系數的和：其方法是在二項式中令所有的字母都為1即可求得.

（2）求展開式中，各項系數的絕對值之和：其方法是在二項式中，將兩項的系數取正相加即可求得.

（3）求展開式中，各奇數項的系數的和及偶數項系數的和：其方法是在二項式中，先令所有的字母都為，得一個方程，再令所有的字母都為，又得一個方程，最后將所得的兩個方程相加或相減即可求得.通項公式是第r＋1項而不是第r項．

（作者單位：貴州省龍里中學）

責任編校 徐國堅