利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法

摘 要 導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的概念，本文結(jié)合實(shí)例論述了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種常用方法。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 不等式 證明方法

中圖分類號(hào)：O17 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Some Methods of Using Derivatives to Prove Inequality

JIANG Shihui， JIAO Keyan

(Department of Information Engineering， He'nan College of Finance Taxation， Zhengzhou， He'nan 451464)

Abstract Derivatives of higher mathematics in a very important concept， this paper discusses examples demonstrate the use of derivatives of several common methods of inequality.

Key words derivative; inequality; method of proof

不等式的證明在高等數(shù)學(xué)中也是比較常見的題型，不同類型的題目有不同的解法，當(dāng)題目給出的函數(shù)可導(dǎo)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求解不失為一種較好的方法，現(xiàn)將幾種常用方法介紹如下。

1 利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

這是不等式證明的一種重要方法，若題型為“求證：當(dāng)時(shí)，，、可導(dǎo)；” = ，則其解題步驟是：令 = ，，其中 = = 0，從而將要證明的不等式“當(dāng)時(shí)，”轉(zhuǎn)化為證明：“當(dāng)時(shí)，＞”，接著，再證明＞0，即可得到“當(dāng)時(shí)，＞”，所以當(dāng)時(shí)，得證。

例1 當(dāng)＞1時(shí)，證明不等式：＞。

證： 設(shè) = ，顯然在[1，+∞)上連續(xù)，且= 0。

= = (1)

顯然，當(dāng)＞1時(shí)，＞0，故是[1，+∞)上的增函數(shù)。

所以當(dāng)＞1時(shí)，＞ = 0，即當(dāng)＞1時(shí)，＞成立。

其實(shí)這個(gè)方法只對(duì)一部分不等式適用，即當(dāng)＞時(shí)，＞，且 = 單調(diào)增加。而實(shí)質(zhì)上，當(dāng) = ＞0時(shí)，上述題型即可得證，至于單調(diào)增加則是不必要的。故上述方法是證明不等式的一個(gè)充分不必要方法。

例2 證明：∈(0，1)時(shí)，＞。

證：設(shè) = ，顯然在[0，1]上連續(xù)，且 =0， =1-2x。

顯然，當(dāng)∈(0，1/2)時(shí)，＞0，故是(0，1/2)上的增函數(shù)。

所以，當(dāng)∈(0，1/2)時(shí)，＞ = 0，即當(dāng)x∈(0，1/2)時(shí)，＞成立；

當(dāng)∈(1/2，1)時(shí)，＜0，故是(1/2，1)上的減函數(shù)。

所以，當(dāng)∈(1/2，1)時(shí)，＞，即當(dāng)∈(1/2，1)時(shí)，＞成立；

綜上所述，當(dāng)∈(0，1)時(shí)，不等式：＞成立。

由例2我們可以發(fā)現(xiàn)，＞0在區(qū)間（0，1）內(nèi)不恒成立，但仍然有不等式成立。這進(jìn)一步說明例1的證明方法是充分而不必要的，深入思考，上述方法可以改進(jìn)為：令 = ，，其中 = ≥0、 = ≥0，從而將要證明的不等式“當(dāng)時(shí)，＞”轉(zhuǎn)化為證明：“當(dāng)時(shí)，＞0”。

證明可分以下幾種情況：（1）若能證明＞0，則得到“當(dāng)時(shí)，＞≥0”，即時(shí)，成立；（2）若能證明＜0，同樣可得到“當(dāng)時(shí)，＞≥0”，即時(shí)，成立；（3）若存在點(diǎn)∈()，當(dāng)時(shí)，＞0，則得到“當(dāng)時(shí)，＞≥0；當(dāng)時(shí)，＜0，則得到“當(dāng)時(shí)＞≥0”，所以可得：時(shí)，。

2 利用lagrange中值公式

例3 證明：＜＜， (0＜＜)。

分析：把不等式可以改寫成()＜＜()。

可見“”是函數(shù)在區(qū)間[]兩端值之差，而()是該區(qū)間的長(zhǎng)度，于是可對(duì)在[]上使用拉格朗日中值定理。

證：設(shè) = ，則 = 。在[]上運(yùn)用拉格朗日中值公式，有 = = ()，(＜ ＜)

又因＜＜，于是，有()＜＜()

即＜＜

該方法一般適用于證明“可導(dǎo)，求證：與的大小關(guān)系”問題。

3 利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值

有些不等式的證明可轉(zhuǎn)化為討論的最大值（最小值）與0的關(guān)系問題，例如是函數(shù)在定義區(qū)間上的最大（?。┲担瑒t一定有＜（或≥），那么要證的不等式，可轉(zhuǎn)化為≤0（≥0）。

例4 證明不等式≤()。

證：設(shè) = (1 )，則： = - = (1)

令 = 0，得唯一駐點(diǎn) = 1，又當(dāng)時(shí)，＞0；

當(dāng)＞1時(shí)，＜0；從而是在(0，+∞)上的最大值，

即有≤ = 0，所以 (1 )≤0，

即：≤()。

4 利用函數(shù)圖形的凸性

我們知道，在()內(nèi)，若＞0，則函數(shù) = 的圖形下凸，即位于區(qū)間[， ]的中點(diǎn)處弦的縱坐標(biāo)不小于曲線的縱坐標(biāo)，即有： () ≤

其中， 為()內(nèi)任意兩點(diǎn)。等號(hào)僅在 = 時(shí)成立。

例5 設(shè)＞0，＞0證明不等式 + ≥ ( + )且等號(hào)僅在 = 時(shí)成立。

分析：將不等式兩邊同時(shí)除以2，變形為：

≥

便可看出，左邊是函數(shù) = 在兩點(diǎn)，處的值的平均值，而右邊是它在中點(diǎn)處的函數(shù)值，這時(shí)只需≥0即可得證。

證： 設(shè) = ，即 = 1 + ， = ＞0，

故由[ + ] = ()得 ≥ ，

即 + ≥ ( + )，等號(hào)僅在 = 時(shí)成立。

總之，導(dǎo)數(shù)為證明不等式提供了不少有效的方法，使用時(shí)究竟用哪種方法更合適，很難給出一個(gè)肯定的回答，需要根據(jù)不等式的具體形式來加以選擇，有的可以用多種方法證明。要想掌握利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的這些方法，就需要平時(shí)多練習(xí)，熟能生巧。

參考文獻(xiàn)

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