關于倒代換解決一類積分問題的新思考

摘 要 在不定積分知識的學習過程中，常會遇到一類需要利用倒代換求解積分的問題，但考慮到倒代換解題較繁瑣的特點，本文給出一種解決該類問題的新方法，該方法在這類問題解答中具有較倒代換更好的適用性。

關鍵詞 不定積分 倒代換 裂項 湊微分

中圖分類號：O172文獻標識碼：A

0 引言

在中學數學有關數列知識的學習中，我們經常用裂項的方法進行求解數列的相關問題。例如，已知一數列{an}的通項公式為an = ，求該數列前n項和Sn。對于這道題，具體做法如：an ===

上面的處理過程我們稱為裂項，an被分解成了兩個簡單分式的代數和。這樣裂項的好處是在求解Sn時所帶來的簡便性：

Sn = a1 + a2 + …+an = 1 ---+ … +-=

即為所求的數列{an}的前n項和Sn。

本文所提到的有關倒代換在解決一類不定積分問題時的新思考是在裂項的基礎上受到啟發，再結合微積分當中求不定積分的第一類換元積分法也即湊微分法的相關知識，給出的一種不同于倒代換但整體上更易于理解和掌握的有關一類不定積分問題的新方法，并且這個方法使得原本利用倒代換這一種第二類換元積分法的方法轉化成利用第一類換元積分法這一解答途徑上來，也減輕了學生的學習負擔。

1 倒代換在一類積分問題中的應用

例1 求不定積分

解：令x = ，則 = -，于是

= ·(- )

= -= - = - ()

= - || + c = - | + 1| + C

= - |2 + | +|| + C

需要指出的是在吳贛昌的書中指出遇到有關有理函數中分母的階數較高時，經常利用倒代換。而且倒代換的形式是x = ，一旦運用倒代換，必然會產生新的變元。這使得我們可以看到，此題利用倒代換的解題過程較為繁瑣，首先要換元產生新的變量，接著化簡，湊微分求解。要注意的是這樣首先得到的是關于變量t的積分結果，最后一步也是很關鍵的一步——那就是回代得到關于x的函數關系式，如需化簡還要最終化簡。因此，整個過程需要一定的時間成本，并且求解時需要處處小心，因為它既考察了學生對于第一類換元積分法的掌握情況，也考察了第二類換元掌握的情況，對于基礎不是太好的同學是有一定難度的。

前面提到了倒代換常用于當有理函數中分母階數較高的情況，但即便分母階數很高也不一定用倒代換就能求解，比如下面這道例題。

例2 求不定積分

解：令x = ，則 = -，于是

= ·(- ) =

題目求解到這，我們可以觀察到此時換元整理之后的式子中分母的階數依然很高，那如果按照之前的辦法我們需再一次利用倒代換，這樣下來花的時間更多，而且還不一定能得到正確的結果。假設在實際情況中我們的學生在學習的過程中恰好碰到例二這樣的情形，豈不是要走很多彎路。基于這種考慮，再結合我們最開始所提到的裂項這一知識，則對于上面的兩個例子都能很好加以解決。

例1‘ 求不定積分

解： 原式 = = ( - )

= ( - ) = || - || + C

此題解答過程簡單明了，所運用到的只是高中裂項和大學微積分中湊微分的結合。而且對于這一類湊微分是有一個結論性的知識的，那就是對于有理分式中分母的冪次恰好比分子多一，例如本題中分母冪次為7，分子為6。湊微分時將分子直接和合起來湊微分，然后進行求解。因此，此題較之倒代換來說，是有它的優勢的。下面我們再看一下這種結合在例二中的應用。

例2‘ 求不定積分

解： =( - )

= -

=( - )-

=|| -+ C

2 新方法在一類積分中的應用

觀察新方法在例子中的應用進行思考，是不是類似的積分求解都能用此類方法解答，例如，但是隨之我們求解發現裂項之后并不能像例1‘那樣進行解答，這是因為在求解的過程中湊微分這一步驟不能很好的完成。但是我們也總結發現，如果積分中有理函數中分母指數低的那一項是x的一次函數，但另外一項可以是x的任意次數函數，同時分子為自然數1，如 ，利用本文方法其結果為 || - || + C。基于這樣的探索發現，本文總結之后給出了一類形如 ，（a為任意常數，n為任意整數）積分的解題方法。

例3 求

解：原式 = =

= ( - )=|| + C

= || - | + | + C

對于這一類積分問題的一般情形研究發現，其結果有著一個規律，即結果是由兩個對數和一個積分常數C組成，且第一個對數前面的分數是原積分問題中分母的常數項的倒數，第二個對數的分數為分母中常數項和x的指數n的乘積的倒數。而且位于對數位置的部分恰好分別是x和 + 這兩項，因此，今后在碰到類似的積分時，可以結合這一規律直接給出答案。例如：= || -| + 4| + C

3 小結

本文是在一類積分問題常利用倒代換求解的基礎上進行的新思考。其出發點是基于在運用倒代換求解這一類積分問題時的繁瑣性尋求更好的解決方法。新方法結合了第一類換元積分法和高中數學在數列學習中的裂項的知識。文中通過分析和實例對比，指出了本文方法較之直接使用倒代換的優越性，能更好的讓學生掌握一類積分問題的求解。并且文中還將實際的例子加以推廣到一般情形驗證了該方法確實有著一定的實用性，得出了一般情況下能迅速給出解答答案，可以說該方法是比倒代換更能讓學生掌握的方法。當然該方法也有不足之處，那就是只是針對一類問題能很好地加以解決，對另外一些情形卻有著它的局限性，這也是需要研究的地方。

參考文獻

[1] 吳贛昌.微積分(經管類第三版)[M].北京:中國人民大學出版社，2009:182.

[2] 陳文英.高等數學中代換法運用技巧[J].沈陽師范大學學報，2007.25(4):442-444.