拓撲空間與度量空間性質(zhì)異同淺析

摘要：拓撲空間是度量空間的延伸，是用抽象化的語言來闡述相關(guān)概念，蘊含著豐富的性質(zhì)。本文將拓撲空間中一些性質(zhì)與度量空間中的一些性質(zhì)做了一些比較，特別是對拓撲空間中相關(guān)反例進行了研究。

關(guān)鍵詞：拓撲空間，度量空間，可分性

拓撲空間和度量空間是數(shù)學(xué)專業(yè)的最基本內(nèi)容之一，研究他們的基本定義和相關(guān)性質(zhì)是后續(xù)研究的重要基礎(chǔ)，下面我們將其相關(guān)定義和性質(zhì)進行梳理。

一、相關(guān)定義

拓撲空間的定義如下：

定義1. 設(shè)X是一非空集合，X的一個子集族稱為X的一個拓撲，如果它滿足：

（1）都包含在中

（2）中任意多個成員的并集仍在中

（3）中有限多個成員的交集仍在中

度量空間的定義如下：

定義2. 集合X上的一個度量是一個映射：，它滿足

（1）正定性. ， ，， 當

（2）對稱性. ，

（3）三角不等式. ，

當集合X上規(guī)定了一個度量后，稱為度量空間。從相關(guān)定義中看出，若將度量空間中的開子集取作球形鄰域，則拓撲空間是度量空間的推廣。常見的度量空間有下面的一些例子:

例1：歐氏空間賦予距離拓撲后為度量空間。

例2：空間X賦予如下度量：，則X為度量空間。

例3：對實數(shù)上的閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)空間，我們可以賦予如下最大模范數(shù)誘導(dǎo)的度量，即任意兩個連續(xù)函數(shù)的的距離為這兩函數(shù)差的最大模，同樣對于可導(dǎo)函數(shù)，光滑函數(shù)都有類似的定義。

例4：在辛幾何中，在哈密頓微分同胚群中Hofer曾定義了如下度量：

從其誘導(dǎo)的范數(shù)稱為Hofer范數(shù)，該范數(shù)是研究辛拓撲、辛嵌入的強有力武器。

二、相關(guān)性質(zhì)

度量空間中許多性質(zhì)都發(fā)源于歐氏空間，它們滿足、、、分離公理與、可數(shù)公理，但有許多性質(zhì)到拓撲空間就不再保持。例如可分性就不再保持。

命題1：可分度量空間的子空間也是可分的。

證明:不妨假設(shè)X是可分的度量空間，A是X的子空間，B為X的可數(shù)稠密子集。下面證明為A的可數(shù)稠密子集。

首先證明為A的可數(shù)子集。因為B為可數(shù)子集，可數(shù)集的子集仍為可數(shù)集，所以為A的可數(shù)子集。

其次證明為A的稠密子集，此時需要在子空間拓撲下討論，即需證明A中任何開集與的交不空，由子空間拓撲定義，A中開集u為X中開集P與A的交，即.又因為B為X的稠密子集，即X的任何開集與B的交非空。所以，從而得證。

但可分拓撲空間的子空間一般是不可分的，例子參見[1]。

仍有許多例子在度量空間中部成立，但在拓撲空間中是成立的。比如在拓撲空間X中，序列，一般推不出，但在可余拓撲空間中，我們有如下命題：

命題2：在實數(shù)空間R中賦予如下的余可數(shù)拓撲，，若有序列，則當n充分大時。

證明：在上，序列意味著對X 的任意鄰域u，當n充分大時，都在u中，而中的開集為可數(shù)集的余集。故我們?nèi)=，此U為包含x的開鄰域，但U中不含，此與矛盾。故當n充分大時。

命題3：f為拓撲空間到實數(shù)的連續(xù)映射，其中，則f為常值映射。

證明：假設(shè)f不是常值映射，即有實數(shù)c，d且和x，y有如下式子，。我們?nèi)，d的鄰域u，v使得u，v均為開集且互不相交。因為f為連續(xù)映射，所以開集的逆像為開集，記u，v的逆像集為p，q。由拓撲的定義知且p，q有交集矛盾。

三、結(jié)語

度量空間和拓撲空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，特別是現(xiàn)代微分幾何與現(xiàn)代微分方程的發(fā)展度量空間的相關(guān)理論已經(jīng)不能滿足其需要，像在辛幾何與切觸微分幾何中如何定義度量是一個非常棘手的問題。區(qū)分度量空間和拓撲空間具有非常顯示的意義。

參考文獻：

[1]尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓撲學(xué)講義，北京大學(xué)出版社，1997

[2]林金坤，拓撲學(xué)基礎(chǔ)，科學(xué)出版社，1998

[3]Hofer， E.Zehnder:Symplectic InvariantsandHamiltonian Dynamics. (Berlin:Birkhauser Verlag， Basel. Boston， 1994)

作者簡介： 孫大為，1983年，男，博士，講師。