一題多解對培養(yǎng)學(xué)生能力的作用

進(jìn)入21世紀(jì)，各國對數(shù)學(xué)教學(xué)目的中能力的培養(yǎng)都很重視，幾乎所有國家都提出要發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，分析和解決問題的能力。比如美國的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中就提出培養(yǎng)推理能力、數(shù)學(xué)洞察力、解決問題的能力，以及對數(shù)學(xué)的欣賞能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，筆者個(gè)人認(rèn)為：在復(fù)習(xí)課中引入一題多解，非常有利于學(xué)生上述能力的培養(yǎng)。因?yàn)樵趶?fù)習(xí)課中，學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)知識與技能，具有一定的分析、解決問題的能力。

一、培養(yǎng)發(fā)散思維品質(zhì)，拓寬解題思路，提高解題靈活性

例1：求函數(shù)的最大值與最小值。

這個(gè)看似并不復(fù)雜的問題，復(fù)習(xí)課上，通過引導(dǎo)可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析問題的能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力、解決問題的能力和觀察能力。

通過一題多解，可以加深學(xué)生對題目的形式、組成元素以及題目隱含的邏輯（因果）關(guān)系的認(rèn)識，從而培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)洞察力和推理能力，拓寬解題思路，提高解題的靈活性。就本問題而言，通過引導(dǎo)觀察，從題形結(jié)構(gòu)（形式與組成元素）的各個(gè)窗口入手，本題有三種解法：

1.三角函數(shù)解法

本題形式上是三角函數(shù)，可以從三角函數(shù)的角度進(jìn)行思考。

解法1：變形，原式化為

２.利用斜率的思想

①因?yàn)榕c斜率公式相似，可變形為，可看成是點(diǎn)A（sinx，cosx）與點(diǎn)B（3，-2）連線斜率的，而點(diǎn)A在單位圓上。如圖（1），可知KBC≤K≤KBD，過B點(diǎn)的直線方程為y+2=K（x-3），即Kx-y-3k-2=0，由直線與圓有交點(diǎn)，得d≤1。

②由上聯(lián)想，可以看成點(diǎn)A(，)與原點(diǎn)連成的斜率，而點(diǎn)A在橢圓上。

③也可以看成是點(diǎn)A（，）與點(diǎn)B（9，-4）連線的斜率，點(diǎn)A在橢圓上，如圖（2）。此時(shí)KBC≤K≤KBD，而過點(diǎn)B的直線y+4=K(x-9)，即Kx-y-9K-4=0與橢圓有交點(diǎn)，代入橢圓方程得：(4+9K2)x2-18K(9K+4)x+9(9K+6)(9K+2)=0，由判別式等于0得：

或∴

以上三種解法，是由所給的函數(shù)形式，聯(lián)想到斜率，其中一點(diǎn)的坐標(biāo)中含有參數(shù)，是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，消去參數(shù)后，發(fā)現(xiàn)它們在不同的曲線上，問題轉(zhuǎn)成了直線與曲線（圓、橢圓）的關(guān)系，利用點(diǎn)到圓相交的直線距離不大于半徑建立不等式，當(dāng)直線與橢圓有交點(diǎn)時(shí)，解方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，若方程有解，判別式不小于零，建立不等式，把直線的斜率問題融入到不等式中。

3.利用直線與圓的位置關(guān)系

將轉(zhuǎn)化為，看成是點(diǎn)A（，）在直線2u-3yv-9y-4=0上，而點(diǎn)A又在單位圓u2+v2=1上，直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，得。這種想法在于與直線的一般方程類似，自然、是兩個(gè)變量，是直線方程的解，而點(diǎn)（，）又在單位圓u2+v2=1上，這樣一來，點(diǎn)在單位圓上，又在直線上，說明直線與圓有交點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離不大于半徑，從而建立不等式。通過上面的教學(xué)過程，我們看到通過對式子的結(jié)構(gòu)特征的仔細(xì)觀察（觀察能力的培養(yǎng)）充分挖掘變量即充分理解、分析、探索變量的意義，還能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高分析能力。不僅如此，在整個(gè)探索的過程中，也把學(xué)生的情感帶入了奇妙的數(shù)學(xué)王國。

二、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)欣賞能力

將一題多解引入課堂，可使課堂變得奇妙無窮。在多解的探索過程中，尤如一次歷險(xiǎn)記，學(xué)生的情感被帶入了奇妙的數(shù)學(xué)王國，沿途學(xué)生也可感受題目的構(gòu)造美、圖形美、因果美、推理美、創(chuàng)造美、對稱美，真是美不勝收，能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)欣賞能力。

數(shù)學(xué)是一門思維的學(xué)科，數(shù)學(xué)題常常一題多解。這是一道普通題，通過本題多解，我們化平淡為神奇，在數(shù)學(xué)中，如果我們經(jīng)常給予強(qiáng)化，引導(dǎo)學(xué)生尋曲探幽，久而久之，學(xué)生必定為數(shù)學(xué)的美所吸引激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，最后形成學(xué)生自己的推理能力，應(yīng)用知識的能力，在實(shí)踐中得出最佳解題方法，從感性認(rèn)識——理性認(rèn)識的飛躍，這樣洞察力自然形成。

三、培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力

平時(shí)課堂學(xué)習(xí)主要是概念、公式、公理、定理為主線，按計(jì)劃有順序一章、一節(jié)地進(jìn)行，老師們通過很多好的方法提高課堂質(zhì)量，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，但畢竟還是比較零散的，即使有系統(tǒng)歸納，但我個(gè)人感覺都沒有一題多解這種方式來得“刺激”。一個(gè)問題，它可涉及知識的多方面，從不同的觀察點(diǎn)出發(fā)，引發(fā)不同的知識應(yīng)用，就本例而言，它涉及斜率公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓、橢圓及其參數(shù)方程，還有直線與曲線的位置關(guān)系，由此又涉及初中的解方程組及判別式，等等。一題多解，通過復(fù)習(xí)課的討論，各人或各小組都能得出正確答案，這將大大開闊學(xué)生眼界，刺激固有的思維模式，從而重視知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，自覺探索知識的應(yīng)用，這種思想無論就數(shù)學(xué)而言，還是對將來的工作來說，都有不可估量的作用，這與新課標(biāo)的思想是相符合的。

例2：已知x，y∈R，滿足3x+4y2=10，求x2+y2的值。

解法（1）（函數(shù)法）由3x+4y2=10得

，代入得

，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立。

∴x2+y2的最小值為4

解法（2）（切線法）令x2+y2=r2(r＞0)

由得5x2-12x+(20-3.2r2)=0

由Δ=122-4×5×(20-3.2r2)=0得r2=4

∴x2+y2的最小值為4

解法（3）（幾何法）由點(diǎn)O（0，0）到直線3x+4y=10的距離公式，得：

∴d2=x2+y2=4，即x2+y2的最小值為4。

解法（4）（參數(shù)法）方程3x+4y=10可化為

代入得x2+y2=(t-1)2+4≥4

當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，等到號成立

∴x2+y2的最小值為4

四、提高解決問題的能力

數(shù)學(xué)歷來反對培養(yǎng)書呆子。有教育家說：將來的文盲不是不認(rèn)識字的人，而是不懂得運(yùn)用知識的人。一題多解，在數(shù)學(xué)中很常見，在復(fù)習(xí)課中適當(dāng)?shù)臅r(shí)候引入一題多解，對提高學(xué)生的解題能力大有裨益，因?yàn)樵谕诰蛞活}多解時(shí)，要充分運(yùn)用所學(xué)知識，尋找條件與結(jié)論之間的關(guān)系，調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)思想（轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合、類比……）及不同章節(jié)的知識乃至不同學(xué)科的知識，從不同角度去分析、解決問題。經(jīng)常訓(xùn)練對促進(jìn)思維，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、綜合能力等益處多多。一題多解也是一種研究型學(xué)習(xí)方法，值得探索。

（作者單位：福建省晉江華僑職業(yè)中專學(xué)校）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文