利用圖形上點的任意性求解定點或定值問題

摘 要：筆者通過對高考題和高考模擬題的研究，發現江蘇省高考模擬題中出現頻率較多的一類利用圓或圓錐曲線上點的任意性來求解定點或定值問題。

關鍵詞：點的任意性； 定點或定值問題； 高考模擬題

中圖分類號：G633．6 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2011）8-029-001

筆者研究了2011年江蘇13個大市的高考模擬試卷，發現在高考的必考內容解析幾何部分，有起碼三份模擬試卷中涉及到了同一類問題——利用圓或圓錐曲線上點的任意性來求解定點或定值問題。而這類問題往往因為學生接觸的少，需要設的未知數較多，得分情況不甚理想。

其基本考查模型是：若點Q（x0，y0）是圓或圓錐曲線上任意一點，且Ax0+By0+C=0或Ax02-By0+C=0恒成立，則必有A=B=C=0。下面以實例來分析。

例1.(鎮江市2011屆高三期末調研測試)

已知圓C方程x2+y2-8mx-(6m+2)y+6m+1=0(m∈R，m≠0)，橢圓中心在原點，焦點在x軸上。

（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標；

（2）判斷直線4x+3y-3=0與圓C的位置關系，并證明你的結論；

（3）當m=2時，圓C與橢圓的左準線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B，使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線QA，QB的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）（2）略

（3）橢圓方程 設