代數基本定理在高維數空間之證明

【摘要】本文從數與向量的一一對應關系和初等函數的連續性出發，利用函數圖形的無限相似原理，在高維數空間證明了代數基本定理.

【關鍵詞】多項式;代數方程；根；線性變換；無限相似

一、引 言

從《復數的多元數》可以獲悉，極坐標復數是球坐標三元數的特例，球坐標三元數又是廣義球坐標無窮元數的特例.一個無窮元數可以一一對應于一個點、一個有序數組或一個起點在原點的向量，對于實系數一元n次方程，代數基本定理成立，方程至少有一根.

人們自然會提出下述問題：對于一般系數的一元n次方程，代數基本定理是否成立？

本文從數與向量的一一對應關系和初等函數的連續性出發，利用函數圖形的無限相似原理，對上述問題作出了肯定的回答.

二、基本概念與重要引理

定義1 設x表示一個變量，x∈A∝，x=x0+∑∝n=1xnin，i2n=-1，x0，xn∈R，n∈N，則

y=f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an(n∈N).(1)

稱為無窮維數空間的一元多項式，其中無窮元數a0，…，an稱為f(x)的系數，an-kxk稱為f(x)的k次項，k=n，…，0，an-k稱為f(x)的k次項系數，f(x)的零次項也稱做f(x)的常數項，系數全等于零的多項式稱為零多項式，記作0.

定義2 給定多項式(1)，無窮元數a0=a11+∑∝n=2a1nin，a1n∈R，a1n≠0，n∈N，一一對應于一個無限階矩陣A，A稱做數a0的基本矩陣，A的行列式|A|稱做數a0的基本值.依無窮元數定義，∑∝n=1a21n=r2<∝.據高數知識，a11≠0時，將第k列乘以-a1ka11，k=2，…，再將從第二列開始的可數無窮列全部加到第1列得

顯然，不論n→∝，還是n<∝為有限項，以上各式均正確，有限階矩陣是無限階矩陣的特例，有限元數是無窮元數的特例.易知a11=0，n=2時，|A|=a211+a212=r2=a212.(5)

若a12≠0，可求得A*=0a12-a120，A-1=A*|A|=1a2120a12-a120（6）a11=0，n≥3，n∈N時，|A|=0.(7)

定義3 在多項式(1)中，如果a0的基本值|A|≠0，則a0xn就稱為多項式(1)的首項，a0稱為多項式(1)的首項系數，n稱為多項式(1)的次數，n=2時，|A|≠0a211+a212=r2≠0a0≠0，與復數理論一致；n≥3時，|A|≠0a11≠0.特別地，即使在實數域中研究，n=1時，定義一階行列式|A|=|a11|=a11，仍有|A|≠0a11≠0成立.

當然，將A-1=A*|A|代入矩陣方程后乘出來，其實也正是將克萊姆法則應用到此線性方程組(n→∝)，然后計算xi=Di+1D(D=|A|=an-20r2，n→∝)后所得到的結果.

無窮元數一一對應于一個有序數組或一個向量，無窮維數空間A∝對于數的加法和實數乘積構成實線性空間，數空間和與之對應的實數列空間或實向量空間線性同構，定義向量x的范數‖x‖為數x的模‖x‖=r=|x|，得到賦范實線性歐氏空間，再由ρ(x，y)=‖x-y‖=|x-y|引入兩點間的距離，A∝即成為實線性度量空間.數可以用來表示一個點、一個實數列或一個實向量，本文將不加區別的使用數的這幾種含義.

無窮元數的乘法y=ax本質上是通過仿射變換把無窮維數空間中的一個點映射成另一個點，限制a的基本值|A|≠0，仿射變換成為可逆線性變換，x=ya唯一可求.特別地，在復數域中，復數a的基本值|A|=r2=a20+a21≠0a≠0，初等數學中一般規定0不作除數正是|A|≠0的特例.

研究無窮維空間里點集與點集之間的映射是泛函分析中的內容，在泛函分析中通常把映射或映照稱為算子，而定義域為實數或復數的算子稱為泛函數，簡稱為泛函.現在延拓泛函數的定義，將取值于無窮元數的算子稱為泛函，線性算子稱為線性泛函.

引理1 一般地，線性泛函y=ax(x∈A∝，|A|≠0)將超球面|x|=r映射成一個超橢球面，存在一個正交變換，超橢球面方程可化成規范形.

(17)表示一個長半軸為rar、短半軸為|a11|r的三維橢球面，取cosθ=a12a212+a213，sinθ=a13a212+a213，不難發現正交變換y1=x1，y2=x2cosθ-x3sinθ，y3=x2sinθ+x3cosθ正是初等數學中的轉軸公式.保持x軸不動，將橢球面繞x軸旋轉arctanθ=a13a12后即得到(17).當a12，a13中有一個為0時，不需正交變換，方程即已是規范形，故一般只需討論a1n≠0，n∈N時情況即可.

在《復數的多元數》中，曾用初等數學的方法證明了模律定理，兩個無窮元數a=a0+∑∝n=1anin，a0≠0，|a|=r1，x=x0+∑∝n=1xnin，|x|=r2≠0，n∈N，a為常量，x為變量，其積p=ax的模r，當且僅當兩個無窮元數在同一個超數平面上時，得到最大值rmax=r1#8226;r2；當且僅當x20∑∝n=1a2n=0且∑∝n=1anxn=0時，得到最小值rmin=|a0|r2.現在據引理1可得到更為精細的結論：一般地，線性泛函y=ax(x∈A∝，|A|≠0)將超球面|x|=r映射成一個超橢球面，該超橢球面半軸有且只有r1r2和|a0|r2兩個值，存在一個正交變換，一般位置的超橢球面方程可化成規范型.

定義4 在多項式y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x(n∈N)中，|A|≠0，自變量x取超球面|x|=r，y1=xn=rn(cosnθ+T∝sinnθ)=rn［cosnθ+sinnθ(∑∝n=1incosφn)］，θ依次取0，2πn，2πn，4πn，…，2(n-1)πn，2nπn，傾角T∝取任意值，y1被映射成一個n重的半徑為rn的超球面，其中每一個超球面又被y2=a0y1=a0xn映射成一個超橢球面，n重超球面被映射成n重超橢球面.y0=f0(x)可寫成y0=g(x)+r(x)，其中g(x)=a0xn稱為主項，r(x)=a1xn-1+…+an-1x稱為余項.自變量超球面r→∝時，泛函y2=a0xn的圖形是半軸趨于無窮大的n重超橢球面，不論g(x)，r(x)的方向如何，只要r(x)的模遠小于g(x)的模，y0=g(x)+r(x)的圖形便主要由g(x)確定.易知隨r→∝余項的絕對偏差增加，但相對偏差逐漸減小趨于0，h(x)=|r(x)||g(x)|=|a1xn-1+…+an-1x||a0xn|稱y0的偏形系數，k(x)=1+h(x)稱y0的相似系數，如果r→∝時，h(x)→0，k(x)→1，就稱y0=f0(x)與y2=g(x)=a0xn的圖形無限相似，記作：y0y2，讀作：y0無限相似于y2.自變量超球面趨于無窮大時，映射得到的超橢球面亦趨于無窮大，對于無窮大超橢球面比較與其相似的圖形形狀的相對偏差已無意義，可認為r→∝時，兩泛函圖形最終趨于相同.無限相似符號“”比初等幾何中的全等符號“≌”少一道橫線，要注意無限相似符號不同于矩陣理論中的合同符號“”，全等符號“≌”也不同于線性空間理論里的同構符號“”.

二、代數基本定理在無窮維數空間之證明

證明 在多項式y=f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an中，x為變量，|A|≠0，x，a0，ak∈A∝，ak=ak0+∑∝n=1aknin，ak0，akn∈R，|ak|=rk，x=x0+∑∝n=1xnin，|x|=r，k，n∈N，據向量理論、模律定理及重要引理:

r→∝時，h(x)=|r(x)||g(x)|=|a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x||a0xn|≤|a1xn-1|+|a2xn-2|+…+|an-1x||a0xn|≤|a1|rn-1+|a2|rn-2+…+|an-1|r|a00|rn=r1rn-1+r2rn-2+…+rn-1r|a00|rn≤r1rn-1+r2rn-1+…+rn-1rn-1|a00|rn=∑n-1k=1rkrn-1|a00|rn.

設∑n-1k=1rk|a00|=k1，原式化為h(x)≤k1r，顯然r→∝時，k1r→0h(x)→0，有k(x)=1+h(x)→1，y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1xy2=a0xn.

r=0時，自變量為0，y0=f0(x)=0，泛函將0點映射為0點，0點是泛函的一個不動點，給定x=x0+∑∝n=1xnin=r(cosθ+T∝sinθ)=r［cosθ+sinθ(∑∝n=1incosφn)］，∑∝n=1cos2φn=1，設y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x=X0+∑∝n=1Xnin，Xi∈R，則Xi的值由正弦函數、余弦函數及冪函數復合后確定，因為這三種函數均為連續函數，故隨r→∝，自變量從0點連續變化為無窮大的超球面，y2=a0xn的圖形從0點連續變化為n重的無窮大超橢球面，y0=f0(x)的圖形也從0點連續變化，最終與y2=a0xn的超橢球面無限相似，下面給出具體的分析過程：

|y0|=|f0(x)|=|a0xn||a0xn+a1xn-1+…+an-1x||a0xn|≤|a0xn||a0xn|+|a1xn-1|+…+|an-1x||a0xn|≤r0rn1+k1r，

|y0|=|f0(x)|=|a0xn||a0xn+a1xn-1+…+an-1x||a0xn|≥|a0xn||a0xn|-|a1xn-1|-…-|an-1x||a0xn|≥|a00|rn1-k1r.

其中∑n-1k=1rk|a00|=k1，故

|a00|rn1-k1r≤|y0|=|f0(x)|≤r0rn1+k1r.(18)

據模律定理，|a00|rn≤|a0xn|≤r0rn，泛函y2=a0xn的圖形是一個n重的超橢球面，給定x，其泛函的模一般在最大模與最小模之間.據(18)，泛函y0=f0(x)的圖形在兩個超球面R1=|a00|rn1-k1r，R2=r0rn1+k1r所形成的球帶之間，自變量x確定了一個函數帶，x給定，r為定值，兩個超球面所形成的球帶唯一確定.r→∝，必遠大于k1，泛函y2=a0xn的圖形n重的超橢球面趨于無窮大.

R1=|a00|rn1-k1r=|a00|rn-1(r-k1)→∝，

R2=r0rn1+k1r=r0rn-1(r+k1)→∝.(19)

球帶的上下界均趨于無窮大，球帶的絕對寬度亦趨于無窮大，但球帶的相對寬度ΔR=k1r無限減小并趨于0，偏形系數h(x)≤k1r精確描述了兩泛函圖形的偏差程度，隨r→∝，h(x)≤k1r→0，相似系數k(x)=1+h(x)→1，泛函y0=f0(x)的圖形與y2=a0xn的圖形n重的超橢球面無限相似.

顯然，不論點-an位于何處，球帶必經過-an而趨于無窮，即y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x的圖形隨r→∝至少要經過-an點一次，故方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解，代數基本定理得證.

代數基本定理在無窮維數空間得到證明后，只需令n=3，2，即可得到定理在三維數空間和復平面上的證明，本質上并無區別，只是復平面是傾角為0的數平面，自變量取|x|=r得到的是一個圓而不是在三維及更高維數空間的一個球面或超球面.由于代數基本定理在復域內證明的經典重要性，下面簡單給出具體的證明過程.

在復域內：多項式y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x(n∈N)中，|A|≠0a0≠0，自變量x變為取圓|x|=r，y1=xn=［r(cosθ+isinθ)］n=rn(cosnθ+isinnθ)，θ依次取0，2πn，2πn，4πn，…，2(n-1)πn，2nπn，y1被映射成一個n重的半徑為rn的圓，設a0=a+bi=r0(cosθ0+isinθ0)，其中每一個圓又被y2=a0y1=a0xn=r0rn［cos(nθ+θ0)+isin(nθ+θ0)］映射成半徑為r0rn的圓，圓旋轉θ0形狀不變，正交變換是仿射變換的特例.y0=f0(x)可寫成y0=g(x)+r(x)，其中g(x)=a0xn稱為主項，r(x)=a1xn-1+…+an-1x稱為余項.自變量圓r→∝，函數y2=a0xn的圓是半徑趨于無窮大的n重的圓，不論g(x)，r(x)的方向如何，只要r(x)的模遠小于g(x)的模，y0=g(x)+r(x)的圖形便主要由g(x)確定.

r→∝時，

|y0|=|f0(x)|=|a0xn||a0xn+a1xn-1+…+an-1x||a0xn|≤

|a0xn||a0xn|+|a1xn-1|+…+|an-1x||a0xn|≤

|a0xn||a0xn|+|a1xn-1|+|a2xn-1|+…+|an-1xn-1||a0xn|=

r0rn1+∑n-1i=1rir0r=r0rn1+k1r，

|y0|=|f0(x)|=|a0xn||a0xn+a1xn-1+…+an-1x||a0xn|≥

|a0xn||a0xn|-|a1xn-1|-…-|an-1x||a0xn|≥

|a0xn||a0xn|-|a1xn-1|-|a2xn-1|-…-|an-1xn-1||a0xn|=

r0rn1-∑n-1i=1rir0r=r0rn1-k1r.

其中∑n-1k=1rkr0=k1，故

r0rn1-k1r≤|y0|=|f0(x)|≤r0rn1+k1r.(20)

復域內，|a0xn|=r0rn，函數y2=a0xn的圖形是一個n重的圓，據(20)，函數y0=f0(x)的圖形在兩個圓R1=r0rn1-k1r，R2=r0rn1+k1r所形成的圓帶之間，自變量x確定了一個函數帶，x給定，r為定值，兩個圓所形成的圓帶唯一確定.r→∝，必遠大于k1，函數y2=a0xn的圖形n重的圓趨于無窮大.

R1=r0rn1-k1r=r0rn-1(r-k1)→∝，

R2=r0rn1+k1r=r0rn-1(r+k1)→∝.(21)

圓帶的上下界均趨于無窮大，圓帶的絕對寬度亦趨于無窮大，但圓帶的相對寬度ΔR=k1r無限減小并趨于0，偏形系數h(x)≤k1r精確描述了兩函數圖形的偏差程度，隨r→∝，h(x)≤k1r→0，相似系數k(x)=1+h(x)→1，函數y0=f0(x)的圖形與y2=a0xn的圖形n重的圓無限相似.使用計算機很容易實現函數圖形無限相似的過程，取r→∝，用MATLAB軟件作圖，計算機上得到越來越趨于重合的兩個n重的大圓，很快肉眼即識別不出兩個n重大圓的實際差別.

顯然，不論點-an位于何處，圓帶必經過-an而趨于無窮，即函數y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x的圖形隨r→∝至少要經過-an點一次，故方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解，代數基本定理得證.

證明代數基本定理只需確定隨自變量r→∝，函數圖形從0點連續變形為與無窮大n重的大圓相似的圖形必經過復平面內任一點至少一次即可.在高維數空間更一般的說法是：隨自變量r→∝，泛函圖形從0點連續變形為與無窮大n重的橢球面或超橢球面相似的圖形必經過數空間內任一點至少一次.

為得到更為精細的結論，現在再來研究一下函數在0點附近的情形，顯然，r→0，必遠小于1.

在復域內，對于多項式y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x(n∈N)，|A|≠0a0≠0，假設an-1≠0.

r→0時，|y0|=|f0(x)|=|a0xn+a1xn-1+…+an-1x|≤|a0xn|+|a1xn-1|+…+|an-1x|≤|a0||x2|+|a1||x2|+…+|an-2||x2|+|an-1||x|=rn-1r1+∑n-2k=0rkrn-1r=rn-1r(1+k2r)，

|y0|=|f0(x)|=|a0xn+a1xn-1+…+an-1x|≥|an-1x|-|an-2x2|-…-|a1xn-1|-|a0xn|≥|an-1||x|-|an-2||x2|-…-|a1||x2|-|a0||x2|=rn-1r1-∑n-2k=0rkrn-1r=rn-1r(1-k2r).

其中∑n-2k=0rkrn-1r=k2，故

rn-1r(1-k2r)≤|y0|=|f0(x)|≤rn-1r(1+k2r).(22)

在復域內，|an-1x|=rn-1r，自變量取一個圓|x|=r，函數y2=an-1x的圖形也是一個圓，設函數y0=f0(x)=g(x)+r(x)，其中y2=g(x)=an-1x稱為函數的主項，r(x)稱為函數的余項，只要r(x)的模遠小于g(x)的模，函數的圖形便主要由g(x)確定，在0點附近，g(x)的模遠大于r(x)的模，h(x)=|r(x)||g(x)|=|a0xn+a1xn-1+…+an-2x2||an-1x|稱為y0的偏形系數，k(x)=1+h(x)稱y0的相似系數，如果r→0時，h(x)→0，k(x)→1，就稱y0=f0(x)與y2=g(x)=an-1x的圖形無限相似，記作：y0y2.自變量圓趨于0時，映射得到的圓亦趨于0，對于無窮小的圓比較與其無限相似的圓的相對偏差已無意義，可認為r→0時，兩函數圖形最終趨于相同.

函數y0=f0(x)的圖形在兩個圓R1=rn-1r(1-k2r)，R2=rn-1r(1+k2r)所形成的圓帶之間，自變量x確定了一個函數帶.r→0，函數y2=an-1x的圖形趨于無窮小的圓.圓帶的上下界均趨于0，圓帶的絕對寬度亦趨于0，圓帶的相對寬度ΔR=k2r無限減小也趨于0，偏形系數h(x)≤k2r精確描述了兩函數圖形的偏差程度，隨r→0，h(x)≤k2r→0，相似系數k(x)=1+h(x)→1，函數y0=f0(x)的圖形與y2=an-1x的圖形一個單圓無限相似.使用計算機很容易實現函數圖形無限相似的過程，取r→0，用MATLAB軟件作圖，計算機上得到越來越趨于重合的兩個小圓，很快肉眼即識別不出兩個小圓的實際差別.

綜合以上可知，函數y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x(n∈N)，|A|≠0a0≠0，假設an-1≠0，自變量r從0趨于無窮大，函數的圖形在0點附近無限相似于一個無窮小的圓，這個圓將0點圍在其中；r→∝時，函數的圖形無限相似于一個n重的大圓，隨r變化自變量取到整個復平面，函數值也取到整個復平面，y0=f0(x)至少有一次經過-an點，故方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解.在高維數空間更一般的說法是：自變量r從0趨于無窮大，泛函的圖形在0點附近無限相似于一個無窮小的橢球面或超橢球面，這個橢球面或超橢球面將0點圍在其中，r→∝時，泛函的圖形無限相似于一個n重的橢球面或超橢球面，隨r變化自變量取到整個數空間，泛函值亦取到整個數空間，y0=f0(x)至少有一次經過-a0點，故方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一解.0點是泛函的一個不動點，r=0，y0=f0(x)=0.如果an-1=0，an-2≠0，則在0點附近，函數圖形會無限相似于一個無窮小的2重的圓（在高維數空間是2重的橢球面或超橢球面），以此類推，本文不再一一討論.更一般的，可給出以下命題：

命題1 方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0(|A|≠0)至少有一解的條件等價于：泛函y0=f0(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x(n∈N)的自變量與因變量有相同的取值范圍.

在復平面上證明代數基本定理，采用的方法是：自變量取一系列半徑從0趨于無窮大的圓充滿整個復平面，然后研究因變量的圖形是否也是從0開始充滿整個復平面；在更高維的數空間采用的方法是自變量取一系列半徑從0趨于無窮大的球面或超球面充滿整個數空間，然后研究因變量的圖形是否也是從0開始充滿整個數空間，這種帶有度量性質的研究方法一般稱為空間度量法.

用空間度量法來研究a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0(a0≠0)在實域內的情形依然有效，函數圖形的無限相似原理也依然成立，此時y=f0(x)的圖形就是平面直角坐標系中的平面曲線.不過自變量從原點開始沿直線取值只能有兩個方向，r→∝被分成r→+∝和r→-∝，先取半根數軸［0，+∝)，再取另半根數軸［0，-∝)，自變量以一個點的形式充滿整個數軸，然后研究函數的因變量是否也能充滿整根的數軸，r→0時，rn-1r(1-k2r)≤|y0|=|f0(x)|≤rn-1r(1+k2r)，其中∑n-2k=0rkrn-1=k2，an-1≠0，y0=f0(x)y2=an-1x；r→±∝時，r0rn1-k1r≤|y0|=|f0(x)|≤r0rn1+k1r，其中∑n-1k=0rkr0=k1，a0≠0，y0=f0(x)y2=a0xn.從函數圖形可以直觀看出，函數帶將y0=f0(x)夾在中間.在0點附近，函數y0=f0(x)的圖形在端點|y1|=rn-1r(1-k2r)，|y2|=rn-1r(1+k2r)所形成的線段之間.自變量x確定了一個函數帶，r→0，函數y2=an-1x趨于0，線段的上下端點均趨于0，線段的絕對長度趨于0，線段的相對長度Δy=k2r無限減小也趨于0，偏形系數h(x)≤k2r精確描述了兩函數圖形的偏差程度，r→0，h(x)≤k2r→0，y0=f0(x)y2=an-1x；r→∝，函數y0=f0(x)的圖形在兩個端點|y1|=r0rn1-k1r，|y2|=r0rn1+k1r所形成的線段之間，自變量x確定了一個函數帶，r→±∝，函數y2=a0xn的圖形也趨于無窮，線段的上下端點均趨于無窮，線段的絕對長度趨于無窮，線段的相對長度Δy=k1r無限減小趨于0，偏形系數h(x)≤k1r精確描述了兩函數圖形的偏差程度.隨r→±∝，h(x)≤k1r→0，y0=f0(x)y2=a0xn，不難得出以下結論：

1.對于最高次是奇數次的一元n次方程，代數基本定理成立；

2.對于最高次是偶數次的一元n次方程，由于自變量取整根的數軸，因變量只是數軸的一部分，故當且僅當點-an在函數值域內時，代數基本定理成立，否則無解.

對于偶數次方程，r→±∝，y0=f0(x)y2=a0xn→+∝(a0>0)，據函數的連續性，在(-∝，+∝)上，y0=f0(x)沒有一點可以是-∝，故函數圖形必有最低點.利用分析學知識，首先求出函數的最小值，然后就可以根據-an是否在函數值域內判定出方程是否有解.

綜上所述，便可得出代數基本定理在一維數軸、n維數空間乃至無窮維數空間里各種情形的所有結論，空間度量法與無限相似原理等數學方法的運用也獲得了最大的自然與完整.

四、代數基本定理的簡單應用與綜合評論

一元n次方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0至少有一根等價于一類非線性代數方程組必然有實數解，所以代數基本定理的證明首先是解決了該類方程組實數解的存在性.下面研究一個有趣的三元二次方程組：

a0(x2-y2-z2)-2a1xy-2a2xz+b0x-b1y-b2z+c0=0，

a1(x2-y2-z2)+2a0xy+b1x+b0y+c1=0，

a2(x2-y2-z2)+2a0xz+b2x+b0z+c2=0.(1)(2)(3)

其中a0≠0，所有字母均表示實數.一般地，方程組的解表示三個雙曲面的交集，需要首先確定方程組解的存在性，然后求出各種解的分類.一般的處理方法是先利用結式理論消元，再根據數學機械化理論中一元n次方程的判別系統，采用數學軟件來判斷解的存在性，最后求解.

如果方程組解的個數有限，據Bezout定理方程組至多有2×2×2=8八組解存在，數學機械化權威楊路教授指出，利用北京大學夏壁燦教授計算機自動推理的方法應該可以得出結論，但程序顯然將極為繁瑣.數學所姚勇研究員曾用作數學實驗的方法給出了方程組有解的幾個例證.

現在利用新理論，構造一元二次方程：

(a0+a1i+a2j)X2+(b0+b1i+b2j)X+c0+c1i+c2j=0.(23)

其中X=x+yi+zj，所有小寫字母均表示實數，a0≠0，據定義將各項乘出，就得到上述三元二次方程組，由于代數基本定理成立，故方程組實數解的存在性就成為顯然.這個方程組實際已將一元二次方程在復域內的情形作為特例包含在內，求出解的各種分類不僅重要而且饒有趣味，華東理工大學陸元鴻教授利用計算機作出了自變量取任意一個球面X=r［cosθ+(icosφ+jsinφ)sinθ］，r為定值時，函數y=(a0+a1i+a2j)X2+(b0+b1i+b2j)X的有趣的空間圖形，但限于篇幅，本文不予給出更多的討論.

研究數學史得知：復數被數學界接受遠非一蹴而就，Gauss以后，復數才逐漸獲得了合法地位，這主要是因為Gauss利用復數證明了代數基本定理，Gauss的巨大影響力最終戰勝了一切非議.復數的術語正是源于Gauss，為了紀念Gauss，復平面有時被稱為“Gauss平面”，復數z=a+bi，當a，b為整數時被稱為Gauss復數.1849年，在紀念Gauss獲得博士學位50周年的慶典上，人們在祝辭中紛紛向他致意：正是您使得不可能成為了可能！大家高度評價Gauss 1799年證明了復域內的代數基本定理，卻大都忽略了Gauss在撰寫博士論文時其實還有著更深刻的想法.Gauss確信：復數可以有無窮多個等級，即復數不可能是最終的完備的數系.他把那些比復數還要復數的數稱為：“vera umbrae umbra”，可譯作“虛之又虛的數”.1819年Gauss撰寫了三元數論文，嘗試建立能夠描述空間三個方向位移的新數系.同時Gauss指出：保持復數基本性質的數系擴張是不可能的.天才的Gauss并未在復平面前止步不前，相反多年中他對空間數系進行了認真的研究，且已取得了初步成果.在“寧可少些，但要成熟”思想的影響下，Gauss沒有公開發表他的見解，這對Gauss個人而言或許無可厚非，但如此后人要了解他完整的數學思想就成為難題.

Gauss就是Gauss，百年以后，人們仍需仰望這位數學巨人！Gauss確信：復數會有無窮多個等級，無窮元數就真的發現了；Gauss宣稱：一元n次方程至少有一解，即使在無窮維數空間Gauss也依然正確；Gauss斷言：不存在保持復數基本性質的數系擴張.1898年，Hurwitz證明：復數（含實數）、實四元數和Clifford擬四元數是僅有的滿足乘法定律的線性結合代數.如要求滿足域結構，符合條件的確只有復數，距1799年Gauss證明代數基本定理恰好百年.

Gauss肯定明白：當域結構不滿足時，就應該去尋找更為一般的代數結構.新理論表明：數空間由無數個數平面分層組成，每一層數平面上的數都構成數域，實軸是所有數平面的公共軸.整體來看，他們形成比數域更為一般的一種分層的代數結構，可稱為“層域”.

從現代數學的觀點來看：數可以表示一個標量，也可以表示一個向量，還可以一部分表示標量，一部分表示向量，數具有標量與向量的二象性，無窮維數空間也可看作賦范的實線性歐氏度量空間.

下面給出無窮元數內積的定義，此時向量的范數就是數的模長，‖x‖=|r|=(x，x)=|x|.

定義1 對于A∝中任意兩個無窮元數x=x0+∑∝k=1xkik，y=y0+∑∝k=1ykik，x0，y0，xk，yk∈R，k∈N，定義x，y的內積為(x，y)=x0y0+∑∝k=1xkyk.

有了內積的概念，無窮維數空間就成為實內積空間，利用內積可以研究向量的夾角、正交和投影等，然后可以建立起無窮維歐氏空間幾何學.一個無窮元數就是無窮維數空間中的一個點，一一對應于一個平方可和的實數序列，由于無窮元數模的平方r2=∑∝k=0x2k<∝，數空間中每個基本點列都收斂，從而數空間成為完備的度量空間.完備賦范線性空間又稱Banach空間.建立內積概念后，完備的內積空間稱為Hilbert空間，無窮維數空間又成為Hilbert空間.

數學上常常用有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向.在三維數空間中，以數p1為起點、p2為終點的有向線段所表示的向量一般記作p1p2，向量也可以用一個粗體字母或用一個上面帶箭頭的字母來表示.在三元數的代數形式中，可以把數的單位元寫成粗體或加上箭頭來表示向量，這樣當數表示向量時，數的內積或數量積可記作：

x#8226;y=(x01+x1i+x2j)#8226;(y01+y1i+y2j)=(x，y)=x0y0+∑∝k=1xkyk.(24)

在三維數空間，由于物理學上的需要，還可以引入三元數的外積或向量積.

定義2 對于A3中任意兩個三元數x=x0+x1i+x2j，y=y0+y1i+y2j，x0，y0，xk，yk∈R，k∈N，定義x，y的外積為

p=(x*y)=(x1y2-x2y1)+(x2y0-x0y2)i+(x0y1-x1y0)j.(25)

利用三階行列式，外積又可寫成：

(x*y)=1ijx0x1x2y0y1y2.(26)

當三元數表示向量時，外積或向量積的公式可改寫為：

x×y=(x01+x1i+x2j)×(y01+y1i+y2j)=(x1y2-x2y1)1+(x2y0-x0y2)i+(x0y1-x1y0)j.(27)

外積當然也可寫成單位元為黑體的三階行列式的形式，設θ表示向量x與y之間的夾角，據數空間中兩點間距離公式和余弦定理知：

(x，y)=x0y0+x1y1+x2y2=|x|#8226;|y|cosθ.(28)

在三維數空間，外積p=(x*y)的模

|p|=(x1y2-x2y1)2+(x2y0-x0y0)2+(x0y1-x1y0)2=|x|#8226;|y|1-(x，y)|x|#8226;|y|212

=|x|#8226;|y|(1-cos2θ)12=|x|#8226;|y|sinθ.(29)

這當然恰好就是向量p=x×y的范數.根據需要，數可以表示標量，也可以表示向量，還可以一部分表示標量，一部分表示向量.從數學的觀點來看，物理學上向量的數量積和向量積不過是數的內積與外積的不同寫法，單位元1，i，j本身其實并沒有真正參加運算，所謂數量積與向量積可看作是為了實用引入了數x與y的兩種函數.通過引入新的函數，數的理論可以無限延伸，數的內涵也可無限豐富.1843年Hamilton在愛爾蘭皇家科學院宣讀了他的四元數的發明，他提出的四元數p=a+bi+cj+dk，a是一個標量，其余部分表示向量，并給出了單位元間有點復雜的運算法則.從新的理論來看：把四元數寫成這樣只不過是取其a表示標量、bi+cj+dk表示向量后的另一種記法.兩個四元數相乘，只有數與數相乘、數與向量數乘、兩個向量取向量積等三種情形.作為數，i，j，k之間只有一種統一的運算法則；作為單位元，對其實數系數引入不同的函數就定義出了新的運算.令a=0，即得到形式上完全相同的經典向量理論.Hamilton的定義相當于對向量取向量積，兩者完全等價，本質上并無任何不同.從形式上來看，物理上行之有效的原向量理論全部保留，運算過程也一切如舊；但從本質上來看，向量理論就成為數理論中不可或缺的一部分.

對數學的研究愈是深入，便愈是能發現數學在整體上的統一性和簡單性.數具有標量與向量的二象性、數空間由數平面旋轉而成、橢球面可以無限相似等數學思想極其簡單，從簡單的想法出發，最終卻導出了極深刻的數學結論.一方面與Gauss一樣，本文并沒有去研究如何具體解出方程的根，而是根據泛函圖形從0點連續變形為與無窮大超橢球面相似的圖形必然會遍歷整個數空間的性質，嚴格論證了方程根的存在；另一方面與Gauss又有所不同，本文在0點附近和無窮遠處利用簡單的只含兩項的多項式函數具體構造出了泛函的函數帶，這種方法又并非全然是一個存在性的證明.在0點附近泛函的函數帶當0≤r<1時也成立，在無窮遠處泛函的函數帶當r>1時均正確，函數帶是自變量x模r的分段函數.當r=1時函數帶一般不連續，應用時可以首先檢查r=1時方程是否有解，然后根據-an的模rn，分析函數帶的上下界等于rn時自變量x的模r的值，這樣即可確定出在數空間的哪些球帶區域內方程才可能有解.構造函數帶的方法不僅可以證明方程有解，而且可以確定出在哪些區域內方程有解，再利用逼近的方法即可逐步求出方程的根.

實際上，不論如何高深的數學理論，都必源自基礎數學，本文只用了初等函數y=kx與y=kx就已足夠精確地描述出了函數圖形的無限相似過程；同時，許多初等數學中的問題，只有從高等數學的觀點來看，才能獲得最終的解決與最簡的理解.高等數學與基礎數學互相融合、密不可分.數學大樹由代數、幾何、分析等共同組成，基礎數學是所有主干共同的根.主干愈是向高空發展，根就愈是需要向地下延伸.在數學王國中，沒有一個點可有可無，沒有一個數無足輕重，點與數，數與形，和諧統一，渾然天成.

德國大數學家F.Klein早就指出：從事基礎數學教育的老師其實更需要具有廣博的視野與高端的視角.師范院校和中學教師不僅是學生走向數學之路的啟蒙者和引路人，其中的一小部分學者型教師肯定還需要自身具有一流的從事科研的本領.在數學研究中，無論如何強調基礎數學的重要性都毫不過分.

中國海洋大學常晉德老師提供了研究超復數的重要資料，全國初數會副理事長、華南師大吳康教授在論文的寫作中曾給予了熱情的鼓勵與支持，在此謹致謝意！

【參考文獻】

［1］白爍星，韓江燕.復數的多元數［J］.中學數學雜志高中版（優秀論文專刊），2010（6），60-66.

［2］［美］羅特曼.高等近世代數［M］.章亮譯.北京:機械工業出版社，2007.

［3］夏道行，吳卓人，等.實變函數論與泛函分析［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］同濟大學數學教研室.高等數學［M］.北京:高等教育出版社，1995.

［5］［德］菲利克斯#8226;克萊因.高觀點下的初等數學［M］.舒湘芹，等譯.上海:復旦大學出版社，2008.

［6］［美］保羅#8226;J#8226;納欣.虛數的故事［M］.朱惠霖譯.上海:上海教育出版社，2008.

［7］［美］莫里斯#8226;克萊因.古今數學思想［M］.江澤涵，石生明，等譯.上海:上海科學技術出版社，2002.

［8］［俄］A.D.亞歷山大洛夫，等.數學——它的內容、方法和意義［M］.王元，萬哲先，等譯.北京:科學出版社，2001.