由一道三角函數考題引起的思考

【摘要】借助高考試題引出，并強調說明利用三角恒等變形解題時具有極強的技巧性是可以遵循的，活用之，可以優化解題思路，提升解題技能.

【關鍵詞】加減變形；換元轉化

本文擬以2011年高考數學江蘇卷（理科）第7題為切入點，具體說明：分析、求解有關三角函數問題時經常用到的兩種解題技巧.

一、賞析：考題之解法薈萃

已知tanx+π4=2，則tanxtan2x的值為.

方法一 （側重“加減”變形）∵tanx+π4=2，

∴tanx=tanx+π4-π4

=tanx+π4-tanπ41+tanx+π4tanπ4=2-11+2×1=13，

tan2x=tan2x+π4-π2=-tanπ2-2x+π4

=-cot2x+π4=-1-tan2x+π42tanx+π4

=-1-222×2=34，

故所求tanxtan2x=1334=49.

方法二 （側重“換元”轉化）令x+π4=α，

則x=α-π4，tanα=2.于是，

tanx=tanα-π4=tanα-tanπ41+tanαtanπ4s=2-11+2×1=13，

tan2x=tan2α-π4=tan2α-π2=-tanπ2-2α

=-cot2α=-1-tan2α2tanα=-1-222×2=34.

故所求tanxtan2x=1334=49.

二、揭示：常用解題技巧

1.“加減”變形

有意識地考慮“角”與“角”之間的“加減”聯系，往往可為利用和差角公式及題設條件創造有利條件.常見的有2α=(α+β)+(α-β)，2α+β=(α+β)+α，β=α-(α-β)等.

2.“換元”轉化

處理有關三角函數問題時，有時需要將表示“角”的代數式看作一個整體，通過換元的形式，有利于進一步分析、解決問題.

三、體驗：技巧之活用

以下通過歸類舉例的形式，進一步具體說明以上兩種常用解題技巧在解題中的靈活運用.

1.體驗：“加減”變形之活用

例1 已知sin(2α+β)=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，并記y=f(x)，求函數f(x)的解析表達式.

解析 ∵sin(2α+β)

=3sinβsin［(α+β)+α］

=3sin［(α+β)-a］

sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα

=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα

2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα

2tanα=tan(α+β)，

∴tanβ=tan［(α+β)-α］=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα

=tanα1+2tan2α.

又 ∵tanα=x，tanβ=y，故所求y=f(x)=x1+2x2.

評注 本題求解的關鍵在于兩次對角β進行了變形：β=(α+β)-α.

2.體驗：“換元”轉化之活用

例2 已知cosπ4+x=35，17π12

解析 令π4+x=α，則cosα=35.

又 易知5π3<α<2π，從而sinα=-45.

于是，cosx=cosα-π4=22(cosα+sinα)

=2235-45=-210.

∴由17π12

∴tanx=sinxcosx=7，sin2x=2sinxcosx=725.

故原式=7.25+2#8226;-721021-7=-2875.

評注 本題若按常規思路分析，則往往讓人感到“山重水復疑無路”.此時，如果我們能夠改變思考問題的方式、方法，通過運用“換元”技巧，將題設及所求式的表達形式加以適當改變，則往往有利于問題的進一步分析、思考，讓人頓感“柳暗花明又一村”！