淺談利用曲線割線的斜率與函數導數的關系解題

例1 （2011年福建省普通高中畢業班質量檢查，理科數學第19題）已知：函數f（x）=x+2a2x+alnx.（1）求f(x)的單調增區間.（2）設a=1時，g（x）=f′（x），問：是否存在實數k，使得函數g（x）的圖像上任意不同兩點連線的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由.

在解（2）時，當a=1時，g(x)=1-2x2+1x，假設存在實數k，使得g(x)的圖像上任意不同兩點連線的斜率都不小于k，即對任意的x1，x2∈R+都有g(x2)-g(x1)x2-x1≥k恒成立，左邊的式子g(x2)-g(x1)x2-x1顯然為曲線上任意兩點連接的割線的斜率，由此引發我的思考，它與函數y=g(x)的導數有什么關系嗎？顯然g′(x1)=limx2→x1g(x2)-g(x1)x2-x1.當x2不會無限趨近于x1時呢？我們知道對于連續曲線中任意兩點連線的割線P1P2在曲線中必能找到至少一條與P1P2平行的切線l，設切點為（x0，y0），則必有kP1P2=f′（x0），所以要使kP1P2≥k恒成立，必須且只需g′(x)=4x3-2x2≥k，設h(x)=g′(x)，只需求h(x)=4x3-2x2(x∈（0，+∞）)的最小值.∵h′(x)=-12x4--2x3=2(x-6)x4.當x∈（0，6）時，h′(x)＜0，x∈(6，+∞)時，h′(x)＞0，∴當x=6時，h（x）有最小值為h（6）=-1108，故k的取值范圍是-∞，-1108.由此題的解答可以看出利用曲線割線的斜率與函數導數的關系解題比所給出的標準答案更為簡便.

由此聯想到若是對一條光滑的連續的曲線y=f(x)要使得f(x)上的任意兩點割成的斜率f(x2)-f(x1)x2-x1，要使f(x2)-f(x1)x2-x1≥k或f(x2)-f(x1)x2-x1≤k恒成立的問題皆可轉化為使k≤f′(x)min或k≥f′(x)max的問題進行求解，還可以進行構建求解.

例2 （2011屆福建省名校高三樣本分析考試數學試卷20題）已知函數f(x)=aln（x+1）+(x+1)2.

(1)討論函數f(x)的單調性.

（2）當a＞0時，若對任意x1-x2∈（-1，+∞）卻有│f(x1)-f(x2)│≥3│x1-x2│，求a的取值范圍.

利用上述的結論我是這樣求解（2）的.

解 ∵x1≠x2要使對任意的x1，x2∈（-1，+∞）都有│f(x1)-f(x2)│≥3│x1-x2│，只需f(x2)-f(x1)x1-x2≥3恒成立，只需│f′(x)│≥3恒成立.

又 ∵│f′(x)│=ax+1+2(x+1)=ax+1+2│x+1│，

∵a＞0，∴│f′(x)│≥22a.

∴只需22a≥3，即a≥89即可.

例3 （2011年泉州市質量檢查20題）已知函數f(x)=x3-2x2-4x-7.

（1）求函數f(x)的單調區間.

(2)當a＞2時，證明對任意x＞2且x≠a恒有f(x)＞f(a)+f′(a)(x-a).

解 （1）f′(x)=3x2-4x-4=3x+23(x-2)，

∴f(x)在-∞，-23與(2，+∞)遞增，在-23，2遞減.

（2）f(x)＞f(a)+f′(a)(x-a)，

∴f(x)-f(a)＞(x+a)f′(a).

當x＞a時，只需證f(x)-f(a)x-a＞f′(a).

只需證x＞a＞2時，f′(x)＞f′(a)恒成立，設f′(x)=h(x)，

即只需h(x)＞f′(a)恒成立.

∵h′(x)=6x-4=6x-23，

∴當x∈（a，+∞）時，h(x)單調遞增，

∴h(x)＞f′(a)成立.

當2＜x＜a時，只需證f(x)-f(a)x-a＜f′(a)，

即h(x)＜f′(a)成立.

由上知x∈（2，a）的h(x)單調遞增，∴h(x)＜f′(a).

綜上所述，命題在x≠a時，恒有f(x)＞f(a)+f′(a)(x-a)成立.

因此，在數學問題的求解過程中只要多觀察、多聯想、多積累、多總結，除了一般求解方法外，還應做更深層的探索，就可以發現解數學題的多面性，特別是知識間的交匯，從中感受到解數學題的樂趣，體驗成功的快樂.