法向量在立體幾何有關問題中的“活”用

2011-12-31 00:00:00查寶才

數(shù)學學習與研究 2011年19期

向量在數(shù)學和物理學中的應用很廣泛，在解析幾何與立體幾何里的應用更為直接，用向量的方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問題.將向量引入中學數(shù)學后，既豐富了中學數(shù)學內(nèi)容，拓寬了中學生的視野，也為我們解決數(shù)學問題帶來了一套全新的思想方法——向量法.下面就向量中的一種特殊向量——法向量，談談其在立體幾何有關問題中的應用.

一、法向量的定義

1.定義1 如果一個非零向量n與平面α垂直，則稱向量n為平面α的法向量.

2.定義2 任意一個三元一次方程：Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)都表示空間直角坐標系內(nèi)的一個平面，其中n=(A，B，C)為其一個法向量.

事實上，設點P0(x0，y0，z0)是平面α上的一個定點，n=(A，B，C)是平面α的法向量，設點P(x，y，z)是平面α上任一點，則總有P0P⊥n.

∴P0P#8226;n=0，故(A，B，C)#8226;(x-x0，y-y0，z-z0)=0.

即A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

∴Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0.①

設D=-Ax0-By0-Cz0，

則①式可化為Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0)，即為點P的軌跡方程.

從而，任意一個三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，(A2+B2+C2≠0)都表示一個平面的方程，其法向量為n=(A，B，C).

二、法向量在立體幾何中的應用

1.利用法向量可處理線面角問題

設θ為直線l與平面α所成的角，φ為直線l的方向向量v與平面α的法向量n之間的夾角，則有φ=π2-θ（圖1）或φ=π2+θ（圖2）.

特別地，φ=0時，θ=π2，l⊥α；φ=π2時，θ=0，lα或l∥α.

例1 如圖3，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，側(cè)棱AA1=2，D，E分別是CC1與A1B的中點，點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B與平面ABD所成角的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

解以C為坐標原點，CA所在直線為x軸，CB所在直線為y軸，CC1所在直線為z軸，建立直角坐標系.

設CA=CB=a，

則A(a，0，0)，B(0，a，0)，A1(a，0，2)，D(0，0，1).

∴Ea2，a2，1，Ga3，a3，13，GE=a6，a6，23，BD=(0，-a，-1).

∵點E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，

∴GE⊥平面ABD，∴GE#8226;BD=0，解得a=2.

∴GE=13，13，23，BA1=(2，-2，2).

∵GE⊥平面ABD，∴GE為平面ABD的一個法向量.

由cos〈GE，BA1〉=GE#8226;BA1|GE|#8226;|BA1|=4363×23=23，

得〈GE，BA1〉=arccos23.

∴A1B與平面ABD所成的角為π2-arccos23，

即arccos73.

評析因規(guī)定直線與平面所成角θ∈0，π2，兩向量所成角α∈［0，π］，所以用此法向量求出的線面角應滿足θ=π2-α.

2.利用法向量可處理二面角問題

設n1，n2分別為平面α，β的法向量，二面角α-l-β的大小為θ，向量n1，n2的夾角為φ，則有θ+φ=π（圖4）或θ=φ（圖5）.

例2 如圖6，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為3，側(cè)棱AA1=323，D是CB延長線上一點，且BD=BC.求二面角B1-AD-B的大小.

解取BC的中點O，連AO.

由題意，平面ABC⊥平面BCC1B，AO⊥BC，

∴AO⊥平面BCC1B1.

以O為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，

則A0，0，323，B32，0，0，D92，0，0，B132，323，0，

∴AD=92，0，-323，B1D=3，-323，0，

BB1=0，323，0.

由題意BB1⊥平面ABD，∴BB1=0，323，0為平面ABD的法向量.

設平面AB1D的法向量為n2=(x，y，z)，

則n2⊥AD，n2⊥B1D，∴n2#8226;AD=0，n2#8226;B1D=0，∴92x-323z=0，3x-323y=0.

即x=323y，z=3x.∴不妨設n2=32，1，32.

由cos〈BB1，n2〉=BB1#8226;n2|BB1|#8226;|n2|=323323×2=12，

得〈BB1，n2〉=60°.故所求二面角B1-AD-B的大小為60°.

評析（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲“找——證——求”直接簡化成了一步曲“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象能力，但實質(zhì)不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神.

（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取n2=-32，-1，-32時，會算得cos〈BB1，n2〉=-12，從而所求二面角為120°，但依題意只為60°.因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角.所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”.

3.利用法向量可處理點面距離問題

設n為平面α的法向量，A，B分別為平面α內(nèi)、外的點，則點B到平面α的距離d=|AB#8226;n||n|（如圖7）.

略證 d=|AB|#8226;|cos〈AB，n〉|

=|AB|#8226;AB#8226;n|AB|#8226;|n|=|AB#8226;n||n|.

例3 如圖8，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，點E為CC1中點，點F為BD1中點.求點D1到平面BDE的距離.

解以D為原點，建立直角坐標系，

則D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，1，1)，D1(0，0，2).

∴BD=(-1，-1，0)，BE=(-1，0，1)，BD1=(-1，-1，2).

設平面BDE的法向量為n=(x，y，z)，

則n⊥BD，n⊥BE.

∴n#8226;BD=0，n#8226;BE=0，∴-x-y=0，-x+z=0，即x=-y，x=z.

∴不妨設n=(1，-1，1)，則點D1到平面BDE的距離為d=|BD1#8226;n||n|=23=233，即為所求.