函數的奇偶性與對稱性

函數的奇偶性是函數的基本性質，奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱.若推廣到一般情況可以得到函數的對稱性，得到函數圖像的對稱中心和對稱軸.奇偶性同學們比較熟悉，對稱性問題感覺較難.下面通過幾個實例來研究有關對稱性的問題.

一、求對稱中心和對稱軸

例1 （2008年江蘇名校聯考）函數y=f(x)與y=g(x)有相同的定義域，且都不是常函數，對定義域中的任意x，有f(x)+f(-x)=0，g(x)g(-x)=1，且x≠0，g(x)≠1，則F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)是.（判斷奇偶性）

解析 由題意可知F(x)=2f(x)g(x)-1+f(x)的定義域關于原點對稱.

F(-x)=2f(-x)g(-x)-1+f(-x)

=-2f(x)1g(x)-1-f(x)=2f(x)g(x)g(x)-1-f(x)

=2f(x)g(x)-［g(x)-1］f(x)g(x)-1

=2f(x)g(x)-1+f(x)=F(x)，

∴F(x)是偶函數.

評注 判別函數奇偶性可以通過定義：先看定義域是否關于原點對稱，否則非奇非偶；然后判斷f(x)，f(-x)相等或互補，相等則為奇函數，互補則為偶函數，否則非奇非偶.也可以通過圖像的對稱性來判斷.

例2 （2011年鎮江期末考試）函數f(x)=2cos212x-12-xx-1的對稱中心坐標為.

解析 f(x)=cos(x-1)+1-xx-1=cos(x-1)x-1-1，設g(x)=cosxx，則f(x)=g(x-1)-1.

∵g(x)是奇函數，其對稱中心為（0，0），

而f(x)的圖像是由g(x)的圖像向右移動1個單位長度，再向下移動1個單位長度得到的，故f(x)的對稱中心是把原點（0，0）按向右移動1個單位長度，再向下移動1個單位長度得到點(1，-1)，

∴f(x)的對稱中心為(1，-1).

評注 奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數關于y軸對稱，利用函數圖像間的平移變換，把易求的函數的對稱中心同樣平移成待求的函數的對稱中心，體現了轉化思想.

例3 （2010年上海春季）已知函數f(x)=14-2x的圖像關于點P對稱，則點P的坐標為.

解析 設點P的坐標為（a，b），由定義得到f(x)+f(2a-x)=2b對任意x∈R恒成立，

f(x)+f(2a-x)=14-2x+14-22a-x

=14-2x+14-22a-x

=4-2x+4-22a-x(4-2x)(4-22a-x)=2b，

∴8-2x-22a-x=2b［16-4(2x+22a-x)+22a］，

∴8-32b-2b#8226;22a=(1-8b)(2x+22a-x)對任意x∈R恒成立，

∴1-8b=0，8-32b-2b#8226;22a=0，∴a=2，b=18，

∴點P的坐標為2，18.

評注 若自身對稱曲線f(x)的對稱中心為P(a，b)，則f(x)+f(2a-x)=2b對任意x∈R恒成立，利用恒等式，可直接求出.

二、已知對稱中心或對稱軸求參數

例4 （2006年江蘇）已知a∈R，函數f(x)=sinx-|a|，x∈R為奇函數，則a=.

解析 解法一：由函數f(x)=sinx-|a|是定義域為R的奇函數，則f(0)=sin0-|a|=-|a|=0，即|a|=0，則a＝0.

解法二：f(-x)+f(x)=0，得|a|=0，則a＝0.

評注 奇函數的圖像關于原點對稱，除了通過奇函數定義解題，還可以考慮特殊值，若在x=0處有定義，則有f(0)=0，可以用此性質快速解決問題.

例5 已知函數f(x)=log4(4x+1)-kx(x∈R)為偶函數，則k=.

解析 解法一：f(-x)=log4(4-x+1)+kx=log41+4x4x+kx=log(4x+1)-x+kx=f(x)，

∴-x+kx=-kx對任意x∈R恒成立，∴k=-12.

解法二：由f(-1)=f(1)，同樣可以得到k=-12.

評注 偶函數通過定義直接恒等變形或特殊值法.

三、利用對稱性質解決問題

例6 函數y=f(x)在(0，2)上是增函數，函數y=f(x+2)是偶函數，把f(1)，f52，f72用“<”連接起來是.

解析 ∵函數y=f(x+2)是偶函數，

∴f(2+x)=f(2-x)，f(x)的圖像關于直線x=2對稱.

∵在(0，2)時單調遞增，

∴在(2，4)時單調遞減，f(1)=f(2-1)=f(2+1)=f(3).

∴f72

評注 函數在某個區間具有單調性，由函數的圖像用對稱性可以推到其他區間.

例7 (2009年山東)已知定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間［0，2］上是增函數，若方程f(x)=m(m>0)在區間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4=.

解析 ∵定義在R上的奇函數，滿足f(x-4)=-f(x)，∴f(x-4)=f(-x).

∵f(x)為奇函數，

∴函數圖像關于直線x=2對稱且f(0)=0，由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x)，

∴函數是以8為周期的周期函數.

又 ∵f(x)在區間［0，2］上是增函數，

∴f(x)在區間［-2，0］上也是增函數.

如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區間［-8，8］上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，不妨設x1

由對稱性知x1+x2=-12，x3+x4=4，

∴x1+x2+x3+x4=-12+4=-8.

評注 函數若有兩個對稱中心或兩條對稱軸以及有一個對稱中心一條對稱軸，可以推導出函數具有周期性，進而得到函數在整個定義域上的性質，運用數形結合的思想通過圖像解答問題.

例8 已知a>0，函數f(x)=2012x+1+20102012x+1的最大值為M，最小值為N，則M+N=.

解析 f(-x)=2012-x+1+20102012-x+1=2012+2010#8226;2012x1+2012x，

f(x)+f(-x)=2012x+1+20102012x+1+2012+2010#8226;2012x1+2012x

=4022(1+2012x)1+2012x=4022，

∴f(x)關于點(0，2011）對稱.

∴f(x)最大值點與最小值點關于點(0，2011)對稱.

∴M+N=4022.

評注 通過研究函數解析式，發現函數隱藏的對稱性，并運用該性質.