初探“數的整除性”在數列中的應用

【摘要】本文主要以例題的形式探討數的整除性在數列中的典型應用.

【關鍵詞】整除；數列；美列

數學是培養人類邏輯思維最好的一門學科，數學的最基礎概念就是針對數的一些認識.整除是數學研究的一部分，這一方面的研究延伸出“數論”這一分支學科.由于一個人對數的認識與理解的深度也可以反映出他對數學的領悟能力與理解能力，所以近年來在高校選拔考試中，就有很多出題專家熱衷于對“數的整除性”認識的初步考查.下面作者用例題的形式初步探討“數的整除性”在數列中的典型應用.

1.數的同余問題

例1 已知數列{bn}的通項公式為bn=23n，判斷數列{bn}中是否存在三項成等差數列？若存在寫出一組滿足條件的三項，若不存在說明理由.

分析 首先我們要嘗試，假設存在三項ar，as，at（不妨設r

例2 已知數列{an}為等差數列，首項為a，公差為b，數列{bn}為等比數列，首項為b，公比為a，其中a，b∈N*，且a1

解 （1）由a1

(2)由am+1=bn，可得3+(m-1)b=b#8226;2n-1，即b=32n-1+1-m.因為2n-1+1-m∈N*且b∈N*，所以b=1或3.又因為2=a

點評 不難看出這兩小題經整除性分析就可以得到結果，屬于較典型的“整除性問題”.

例3 數列{an}滿足：a1=1，a2=x∈N*，an+2=|an+1-an|，如果在2010項之前恰好出現666個0，求x的值.

解 由觀察可知1，1，0在這個數列中必成周期出現.設a2=x∈N*，出現第一個1，1，0之前的項為t項，寫出數列{an}的前幾項：1，x，x-1，1，x-2，x-3，1，…，由觀察可得：

當x為奇數時，出現第一個1，1，0之前的兩項必為3，2，且出現1的個數為x-12，于是t=x-1+x-12=32(x-1)，此時t可以被3整除；

當x為偶數時，出現第一個1，1，0之前的兩項必為1，2，且出現1的個數為x2，t=x-1+x2=32x-1，此時t+1可以被3整除.

由出現666個0并以1，1，0為周期的項數為666×3=1998項.下面分情況討論：

如果第2010項恰為0，則t=2010-1998=12，由12+1不可以被3整除，而12可以被3整除，可得32(x-1)=12，于是x=9是奇數，滿足條件.

如果第2010項為1，第2009項為0，則t=2009-1998=11，由11不可以被3整除，而11+1可以被3整除，可得32x-1=11，于是x=8是偶數，滿足條件.

如果第2010項為1，第2009項為1，則t=2008-1998=10，由10不可以被3整除，而10+1也不可以被3整除，可知這種情況不可能出現.

綜上可得滿足條件的x的值為8或9.

點評 本題關鍵在于找到x的屬性，通過適當討論解決問題，過程雖然有點復雜，但是體現了整除思想的重要應用.

2.利用式子的變形處理問題

例4 已知{an}是等差數列，{bn}是公比為q的等比數列，a1=b，a2=b2≠a1，記Sn為數列{bn}的前n項和，若b3=ai(i是某一正整數)，求證：（1）q是整數；（2）數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項.

解 （1）設{an}的公差為d，由{bn}是公比為q的等比數列，a1=b1，a2=b2≠a1可知d≠0，q≠1，且d=a1(q-1)(a1≠0)，b3=a1q2，ai=a1+(i-1)a1(q-1).

因為b3=ai，所以q2=1+(i-1)(q-1)，且q2-(i-1)q+(i-2)=0，于是解得q=1或q=i-2.注意到q≠1，所以q=i-2，由于i是正整數，因此i-2是整數，即q是整數.

（2）我們用兩種方法證明數列{bn}中每一項都是數列{an}中的項.

方法一 設數列{bn}中任意一項為bn=a1qn-1(n∈N+).由（1）的證明可知，我們可以設數列{an}中的任意一項為am=a1+(m-1)a1(q-1)(m∈N+).現在只要證明存在正整數m，使得bn=am，即證明在m的方程a1qn-1=a1+(m-1)a1(q-1)中，m有正整數解.顯然a1≠0，于是qn-1=1+(m-1)(q-1)，即m-1=1+q+q2+…+qn-2，因此m=2+q+q2+…+qn-2.

若i=1，由（1）的證明知q=i-2，于是q=-1，從而b2n-1=b1=a1，b2n=b2=a2.

當i≥3時，由于a1=b1，a2=b2，我們只需考慮n≥3的情況.因為b3=ai，所以i≥3，由q=i-2可知q是正整數，因此m是正整數，于是數列{bn}中的任意一項bn=a1qn-1(n∈N+)與數列{an}的第2+q+q2+…+qn-2項相等，從而結論成立.

方法二 因為q=i-2，所以am=a1+(m-1)a1(q-1)=a1［1+(m-1)(i-3)］，于是bn=a1(i-2)n-1=a1［(i-3)+1］n-1=a1［(i-3)n-1+C1n-1(i-3)n-2+…+Cn-2n-1(i-3)+1］=a1{(i-3)［(i-3)n-2+C1n-1(i-3)n-3+…+Cn-2n-1］+1}.

當i≥3時，取m-1=(i-3)n-2+C1n-1(i-3)n-3+…+Cn-2n-1，于是m=(i-3)n-2+C1n-1(i-3)n-3+…+Cn-2n-1+1∈N*，即數列{bn}中的第n項為數列{an}的第m=(i-3)n-2+C1n-1(i-3)n-3+…+Cn-2n-1+1項；

當i=1時，則q=-1，那么b2n-1=b1=a1b2n=b2=a2.

綜上{bn}中每一項都是數列{an}中的項.

例5 已知數列{an}的通項為an=2n+1，若an可以寫成ab(a，b∈N*，a>1，b>1)的形式，則稱an為“美列”，問數列{an}中是否存在“美列”？若存在求出所有的“美列”，若不存在說明理由.

分析 列舉前幾項易發現23+1=32，但再列舉就很難發現滿足要求的“美列”了.怎么辦？我們再從數的奇偶性方向考察一下，發現an=2n+1為奇數，則推出ab也為奇數，則a必為奇數.再考慮b，對b分奇數與偶數進行討論.

當b為偶數時，由an=ab和an=2n+1可知2n+1=ab，于是ab-1=2n，從而(ab2)2-1=2n，因此(ab2+1)#8226;(ab2-1)=2n，由2n整除(ab2+1)#8226;(ab2-1)，可令ab2+1=2s且ab2-1=2r，則2s-2r=2，于是2s-1=1+2r-1，觀察此等式，發現等式左邊是偶數，所以r=1且s=2，從而ab2=3，則a=3且b=2.

當b為奇數時，由an=ab和an=2n+1可知ab-1=2n，于是ab-1b=2n，因此(a-1)(ab-1+ab-2+…+a+1)=2n.于是2n整除此等式的左邊.因為ab-1，ab-2，…，a，1中的每一項都是奇數，且總項數b也是奇數，所以ab-1+ab-2+…+a+1為奇數，因此2n整除a-1，于是b=1，矛盾于假設b>1，因此當b為奇數時不存在“美列”.

綜上只有a3=23+1為“美列”.

點評 上面的解題過程都用到了分類思想，特別是對式子的變形，如qn-1=(q-1)(qn-1+qn-2+…+q+1)，在兩題中都是重要變形步驟，這正是解決此類題的難點所在，所以平時對于式子的變形要多加重視.

數的整除性應用是比較困難的一個考查點，以前在數學競賽中常常出現，在一般考試當中較少出現，屬于比較“冷門”的知識點，但近年來在一些高考試題和一些高校自主招生考試中有所體現，所以有必要對此知識點進行探討，以期待對讀者有所啟發.