利用特殊思想方法解決抽象函數問題

【摘要】求解抽象型函數問題的解題思想，常需將幾種解題思想綜合運用，“多管齊下”.對于用常規解法難以解決的數學問題，若利用一些特殊的數學思想方法求解，有時會收到事半功倍的效果.對抽象型函數問題的解題思想的探求，可以提高學生的解題能力，培養學生思維的靈活性，從而達到創新思維能力的培養.

【關鍵詞】賦值；構造；分類討論；類比聯想；歸納猜想

1.合理賦值，構造方程

例1 是否存在函數f（x）同時滿足下列三個條件：(1)f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy（x，y∈R）；(2)f（0）=a（a為常數）；(3)fπ2=b（b為常數）?若存在，求f（x）的表達式；若不存在，請說明理由.

分析 條件(1)中x，y的任意性，隱含著x，y既可“換元”，又可“賦值”，結合條件(2)和(3)，可望構造出函數方程組，從而求得函數表達式.

令x=0，y=t，得f（t）+f（-t）=2acost.①

令x=π2+t，y=π2，得f（π+t）+f（t）=0.②

令x=π2，y=t+π2，得f（π+t）+f（-t）=-2bsint.③

將①+②-③，得f（x）=acost+bsint，故存在f（x）=acost+bsint符合題意.

2.挖掘隱含，分類討論

例2 設f（x）是定義在（-∞，+∞）上的增函數，問是否存在實數k，使不等式f（k+sin2x）≥f［（k-4）（sinx+cosx）］對任意x∈R恒成立？并說明理由.

分析 令sinx+cosx=t，則sin2x=t2-1，原不等式對一切x∈R恒成立，等價于不等式μ（t）=t2-（k-4）t+（k-1）≥0對任意t∈［-22，22］恒成立，下列分三種情況討論：

（1）當Δ＜0時，μ（t）≥0，對t∈［-22，22］恒成立，由Δ=（k-4）2-4（k-1）=（k-2）（k-10）＜0，得2＜k＜10.

（2）當Δ=0時，k=2或k=10，此時拋物線t2-（k-4）t+（k-1）的頂點橫坐標t=-1或t=3，μ（t）≥0對任意t∈［-22，22］恒成立.

（3）當Δ＞0時，μ（t）≥0對任意t∈［-22，22］恒成立的充要條件是：

Δ＞0，

k-42＜-22，

μ（-22）≥0.①

或Δ＞0，

k-42>22，

μ（22）≥0.②

解①②，得10＜k＜9+522，綜合（1）（2）（3）得k的取值范圍是［2，9+522］.

3.剖析特例，類比聯想

例3 設函數f（x）定義在實數集上，對任意x，y∈R，都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且存在正數c，使fc2=0，試問：f（x）是否是周期函數？若是，求出它的一個周期；若不是，請說明理由.

分析 由于問題較抽象，不易發現f（x）是否為周期函數，更難找出它的一個周期.若特殊探路，降維思考，聯想三角公式，不難發現函數f(x)=cosx滿足題設條件，因為f（x）=cosx是周期為2π的函數，且cosπ2=0，故推測f（x）是以2c為周期的周期函數.事實上fx+c2+c2+fx+c2-c2=2fx+c2fc2=0，∴f（x+c）=-f（x），∴f（x+2c）=-f（x+c）=f（x）（x∈R）.

4.正難則反，逆推反正

例4 已知函數f（x）在區間（-∞，+∞）上是增函數，a，b∈R，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求證：a+b≥0.

分析 欲證上述命題，正向推理，不易用上題設條件，轉而逆思考.若a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，據單調性f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），從而f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），這與已知矛盾，∴a+b＜0不成立，即a+b≥0.

5.恰用遞推，歸納猜想

例5 是否存在這樣的函數f（x），使下列三個條件：(1)f（x）＞0（n∈N）；(2)f（n1+n2）=f（n1）f（n2）（n1，n2∈N）；（3）f（2）=4同時成立？若存在，求出解析式；若不存在，說明理由.

分析 若存在，由條件(1)(2)(3)，得f（2）=f（1+1）=［f（1）］2=4，f（1）=2.又∵f（2）=4=22，∴f（3）=f（1）f（2）=23，f（4）=24，猜想f（x）=2x（x∈N），用數學歸納法不難證得此猜想正確.

【參考文獻】

［1］賈士代，翟連林.高中數學巧妙解法400例.北京：北京教育出版社.

［2］張巨輪.抽象函數試題的類型與求解思路.中學數學，2000（11）.

［3］葉家振.抽象函數關系給出的對稱性與周期性.中學數學，1996（6）.

［4］張坤元.求解含抽象函數不等式的幾種技巧.中學數學，1995（4）.