高中學生在解題時最易忽略的幾種思維意識

筆者發現，很多學生缺少必要的解題思維意識，表現在解題中或無從下手，或頻頻出錯，或過程繁冗.在高三復習過程中，筆者從強化思維意識這個角度入手，取得了較好的效果.本文結合教學實踐，通過梳理學生在解題中最易忽略的幾種思維意識，談些個人的粗淺體會.

1.定義域意識

定義域意識也即范圍意識，變量范圍是變量存在或不存在的前提，應時時不忘變量范圍對變量的限制.而學生在解題過程中，由于范圍考慮不慎，出現錯解的現象比比皆是，實在令人痛惜!為了避免因范圍引起的錯誤，必須強化“定義域意識”.

例1 已知f(x)=2+log3x，x∈［1，9］，則y=f2(x)+f(x2)的最大值為.

誤解 易得y=log23x+6log3x+6，令log3x=t.

∵x∈［1，9］，∴t∈［0，2］.

從而，y=t2+6t+6=(t+3)2-3，故當t=2時，ymax=22.

說明 該例是高三一輪復習函數專題里常見的一道題目，筆者曾在整個高三年級作過統計，錯誤率竟高達86%.錯誤的根源就是“定義域意識”的缺失.也只有少部分同學考慮到了：對于函數y=f2(x)+f(x2)，因為x∈［1，9］且x2∈［1，9］，所以其定義域為［1，3］，從而，令log3x=t換元后，t∈［0，1］，故當t=1時，ymax=13.

體會 對概念、公式、定理等存在的前提（常常涉及范圍）進行全面而深刻的分析，解題中保持變量范圍的等價性（如“換元”后立即寫出“新元”范圍），重視從條件中挖掘隱含范圍，準確區分和限制多變量問題中的變量范圍，善于構造不等式或運用函數思想求解變量的范圍等，均是強化定義域意識的重要渠道.

2.審題意識

審題過程是一個嚴謹的思維活動過程，而且審題又是正確、迅速解題的基礎和前提，但不少學生常常對此掉以輕心，致使解題失誤或陷入繁冗之中.

例2 設集合P＝{y|y=x2，x∈R}，Q＝{y|y=2-|x|，x∈R}，求P∩Q.

誤解 由y=x2y=2-|x|x=1，y=1或x=-1，y=1，

∴P∩Q＝{（1，1），（－1，1）}.

分析 以上誤解正是由于審題不細致引起的，有些同學總意識不到“抓代表元素的屬性”是認清集合本質的關鍵.實際上集合P，Q皆為數集（它們都是函數的值域），化簡可得P＝{y|y≥0}，Q＝{y|y≤2}，∴P∩Q＝{y|0≤y≤2}.

體會 平時的教學過程中，應訓練學生養成善于認清已知、明確所求、抓好關鍵詞、挖掘隱含條件等良好的審題意識、審題習慣.這對于成功解題至關重要，而這些也恰恰是相當一部分同學的薄弱環節.

3.求簡意識

從教學實踐和各種檢測可以看出，目前中學生的“求簡意識”普遍不強，而求簡意識又是正確、迅速解題的需要和保證，忽略了求簡意識的解題往往過程繁瑣，甚至導致錯解.

例3 設定義在［-2，2］上的偶函數f(x)在區間［0，2］上單調遞減，若f(1-m)

分析 學生拿到此題，常選擇如下思路：根據題意，畫出圖形，然后對變量1-m與m所在區間討論（一不小心還會出現討論“遺漏”情形），致使解題陷入冗繁之中.本題求簡的關鍵是：利用f(x)是偶函數，結合f(x)在區間［0，2］上遞減，從而f(x)在區間［-2，0］上遞增，這樣條件“f(1-m)|m|.這樣的脫“f”過程，就避免了不必要的分類討論.當然還不應忽略定義域［-2，2］對兩變量“1-m”與“m”的限制.故由|1-m|>|m|，-2≤1-m≤2，-2≤m≤2-1≤m<12.

體會 要讓學生具備求簡意識，一方面，教師應不失時機地引導學生“求簡”，及時總結、反思、領悟；另一方面，學生應充分主動地進行靈活扎實的思維訓練和解題實踐.

4.估算意識

許多選擇題都有一定的運算量，需要進行一些運算方能獲解，但是往往又可以通過深層次的思維減小運算量，只需進行一些簡單的估算即可判斷出結果.

例4 （1999年高考第10題）如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF與面AC的距離為2，則該多面體的體積為（）.

A.92

B.5

C.6

D.152

分析 求該不規則多面體（楔體）的體積按常規思路，采用分割法或補形法，轉化為規則幾何體，雖可以獲解，但需要一定的運算量.若連BE，CEVABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF，而VE-ABCD=13#8226;h#8226;SABCD=13×2×32=6，故可由局部估算出整體VABCDEF>6，選D.

體會 數學估算的基本方法有近似計算、由特殊估算一般、由局部估算整體、由一般規律估算個體情況等.現在廣泛使用的特例法（也稱特值法），其實就是一種簡單的估算，讓學生了解估算的意義，增強估算意識，對提高處理實際問題的能力大有裨益.

5.動態思維意識

有些問題按常規思路求解，思維容易受阻或運算較繁.若能將研究的問題置于運動的情景之中，用運動變化的觀點（有時還要結合極限思維考慮極端位置）來處理，則會使思路新穎、解法簡捷.這就是動態思維意識.

6.正難（繁）則反意識

對于一些數學問題，當從正面思考難以奏效（或正面研究情形較繁）時，就可以嘗試從反面入手.這就是正難（繁）則反意識，如常用的補集法、反證法或舉反例等，其實質是一種逆向思維.

7.特殊化與一般化意識

特殊包含于一般之中，凡一般情況下具有的性質，特殊情況下也應具有；而在特殊情況下不具備的，一般情況下也必不具備.常可利用該關系將問題作“特殊化”或“一般化”處理.

（1）利用“一般情況下正確的命題，在特殊情況下也正確”這一性質來解題.

（2）利用“在特殊情況下錯誤的命題，在一般情況下也必錯誤”這一性質來解題.

8.解題后的反思意識

所謂反思，就是對問題及解決問題的思維過程從全方位、多角度、不同層次進行考察、分析和思考.教師在平時的教學中，注意引導學生對問題進行一些反思和探索.通過反思，一方面，可以使學生意識到思維過程的不足，從而能夠主動去完善解題過程；另一方面，也可以提高他們發現問題的能力，訓練他們思維的嚴密性和批判性，有利于在原有基礎上建立更高層次的認知結構，有利于他們養成嚴謹細致的學習作風和學習習慣，是一個極其重要而又容易被忽視的環節.著名數學家波利亞說得好：“數學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思.”

反思是一種積極的思維活動和探索行為，反思是發現的源泉，是開發解題智慧、優化思維品質的可靠途徑.很多數學思想方法，數學的技能技巧，沒有學生的反思、沒有學生的體驗和感悟是無法真正變成學生自己的，這一點是毋庸置疑的.

而從調查反饋來看，大部分中學生的“反思意識”尤為淡薄，筆者認為有兩方面的原因：一是缺少教師的示范，二是學生不良的解題習慣.筆者在此強烈呼吁：作為教師一定要給學生一些特別的指導，經常鼓勵學生對自己的解題活動進行自覺的反思與調控；作為學生必須重視、必須學會解題后的反思.

【參考文獻】

［1］［美］G.波利亞.怎樣解題.閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

［2］任樟輝.數學思維論.南寧：廣西教育出版社，1996.

［3］姜偉.強化思維意識，提高數學素養.數學教學通訊，2002（6）.