注重題后反芻,提高數學解題能力

要提高數學解題能力，除了正確運用數學知識，善于分析題意，選擇解題途徑，還必須在解題后對解題過程加以分析、歸納、總結.為此，我們在平時數學解題時，不妨進行以下幾點嘗試.

一、歸納解題過程中運用到的知識點

我們學習數學需要通過解題對數學的基本概念、規律、公式加以理解，逐步培養和提高分析問題的能力.所以，一道題解完后，應認真分析、歸納在解題過程中用到的有關數學概念、公式、定理，以便加深理解和領會，并由此發現某些知識的內在聯系.

例1 不查表求cos216°+cos214°-3cos16°cos14°的值.

解 原式=1+cos32°2+1+cos28°2-32(cos30°+cos2°)

=12(cos32°+cos28°)-32cos2°+14

=cos30°cos2°-32cos2°+14=14.

分析 本題還有許多解法，在這一解法中我們用到了降冪公式、三角公式，用到了特殊角的三角函數值.我們在解題時已經注意到16°+14°=30°是特殊角，而運用兩角和公式可以形成特殊角的三角函數值，這是我們能夠順利地解答本題的重要因素之一.

如果作進一步分析，我們會發現原式的值14=122=sin230°.注意到：

cos216°+cos214°-3cos16°cos14°

=sin274°+sin276°-22sin74°sin76°cos30°，

即sin30°=sin274°+sin276°-2sin74°sin76°cos30°.①

由74°+76°+30°=180°我們聯想到①式就是余弦定理的形式，我們所求的實際上是直徑為1的圓內接三角形中30°角所對邊長的平方，因為30°是特殊角，所以總可以不查表求其值.

二、嘗試一題多解，培養思維能力

做完一道題后，應該想一想還可以用哪些方法求解，將可能的解法寫出來，再一一嘗試，看得出的結果是否一致，同時比較一下各種方法的異同、繁簡和優劣，這樣便于我們打破常規思維定勢，找到具有創新精神的解題方法.

例2 求函數y=3(x+2)+8-x的最大值.

解法1 由x+2≥0且8-x≥0，

得-2≤x≤8，即-5≤x-3≤5.

令x-3=5cosθ(0≤θ≤π)，即x=3+5cosθ.

代入原式，得

y=15(1+cosθ)+5(1-cosθ)

=30cosθ2+10sinθ2

=21032cosθ2+12sinθ2

=210sinθ2+π3≤210

其中π3≤θ2+π3≤5π6.

當θ2+π3=π2，即θ=π3，x=112時，y取最大值210.

解法1根據-5≤x-3≤5，結合余弦函數的有界性，通過三角換元，將復雜的無理函數化歸為簡單的三角函數求解.下面我們不妨再從平方與代數換元的角度試試看，是否可求解.

解法2 y2=3(x+2)+(8-x)+23(x+2)(8-x)

=(3+1)［(x+2)+(8-x)］- ［3(8-x)-x+2］2

=40-［3(8-x)-x+2］2≤40.

∵y>0，∴y≤210.

當3(8-x)=x+2，即x=112時，ymax=210.

解法3 令x+2=t，則

8-x=10-t2(0≤t≤10).

代入原式，得

y=3t+10-t2(0≤t≤10).

再引入變量m，使m=10-t2(m≥0)，①

從而有m=-3t+y(0≤t≤10).②

在直角坐標系tOm內分別作出①②的圖像（如圖），則y的最大值即為直線段②與①相切時②在m軸上的截距.由圖易知y的最大值為210.

上面解法說明，平方結合重新分組配方或換元后運用數形結合的指導思想是可行的，解法2與解法3使我們走出了常規思路，解決問題的思維能力達到了一個新的高度.

三、學會一題多問，進行自我訓練

認真分析一下我們所做過的題目許多練習還可以提出一些新的問題，值得我們思考并加以研究，如可以看逆命題是否成立，也可以將條件稍加改動，由特殊性變成一般性或由一般性變為特殊性，讓我們繼續思考，這樣我們將收到事半功倍的效果.

進一步分析例1，我們又可以發現更一般地：設0<α<180°，0<β<180°，且α+β=γ（γ為特殊角），求sin2α+cos2β+3sinαsinβcosγ的值.

如研究例2中的解法2.由(x+2)2+(8-x)2=10（定值）可以得到y2=（定值M）-（完全平方式）≤定值M.由此我們還可以將例2改為更具有一般性的問題：

設a，b都是正數，變量μ≥0，ν≥0，且μ2+ν2=M（定值），求函數y=aμ+bν的最大值.