例談從特殊到一般思維方法的培養(yǎng)

【摘要】我們的教學(xué)不是教學(xué)生會(huì)做幾道題，關(guān)鍵是要教會(huì)他們思維的方法.本文從一道題的解答和學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的思維方法，也希望和同行共同探討數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】特殊到一般；錯(cuò)位排列

在習(xí)題教學(xué)中，我們不僅僅要教會(huì)學(xué)生某一道題的解法，更應(yīng)該重視思想方法的培養(yǎng)，這是學(xué)生終身學(xué)習(xí)的需要，從特殊到一般的思維方法是中學(xué)數(shù)學(xué)重要方法之一.在解題教學(xué)中，如果鼓勵(lì)學(xué)生能進(jìn)一步思考，從特殊總結(jié)、歸納一般規(guī)律，這不僅對(duì)以后做題有所啟發(fā)，達(dá)到事半功倍的效果，而且對(duì)學(xué)生的終身學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).下面是我在教學(xué)中對(duì)一道排列組合問(wèn)題的教學(xué).

問(wèn)題 一個(gè)宿舍有四名同學(xué)，元旦到來(lái)之際，每名同學(xué)都自制了一張賀年卡并送給同宿舍的同學(xué)，要求每人一張并且不能拿自己的，問(wèn)：有多少種不同的送卡方法？

一般解法 設(shè)四名同學(xué)分別為A，B，C，D，他們制作的賀卡分別為a，b，c，d，分步完成.第一步：A有三種選法，第二步：若第一步A選b，則B有三種選法，第三步：C，D各只有一種選擇，因此共3×3×1×1=9（種）送法.

思考一 此時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生思考，此種做法適合于數(shù)字較少時(shí)，如果將人數(shù)改為5人，則此法較難（讓學(xué)生體驗(yàn)），進(jìn)而提出，我們能不能找到一種更為一般的方法呢？

先形成特殊到一般的轉(zhuǎn)化，將數(shù)字改變?yōu)?，3，4，5，…

我們不妨把此類問(wèn)題稱為錯(cuò)位排列.

編號(hào)為1至n的n個(gè)小球放入編號(hào)為1到n的n個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，要求小球與盒子的編號(hào)都不同，這種排列稱為錯(cuò)位排列，此時(shí)的錯(cuò)位排列數(shù)記為f(n).

我們由淺入深地研究此類問(wèn)題.

（1）當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1（由學(xué)生完成）.

（2）當(dāng)n=3時(shí)，（剔除逆向思維，先由學(xué)生討論、交流、總結(jié)）我們不妨從反面考慮，3個(gè)的錯(cuò)位排列的反面包括恰有一個(gè)球?qū)μ?hào)入座（2個(gè)球錯(cuò)位）和恰有2球?qū)μ?hào)入座（此時(shí)也就是3球?qū)μ?hào)入座）.

所以f(3)=A33-C13f(2)-1=2.

（3）當(dāng)n=4時(shí)，f(4)=A44-C14f(3)-C24f(2)-1=9.

（4）當(dāng)n=5時(shí)，f(5)=A55-1-C35×1-C25×2-C15×9＝44.

用此法可以逐步計(jì)算：6個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、……元素的錯(cuò)位排列問(wèn)題.

形成第一個(gè)一般結(jié)論：

即f(n)=Ann-C1nf(n-1)-C2nf(n-2)-…-Cn-2nf(2)-1.

思考二 此時(shí)不應(yīng)結(jié)束，再次分析公式不足，上面的公式仍有局限性，在數(shù)字稍大時(shí)亦不易解決，那么有沒(méi)有更為一般的公式呢？（體現(xiàn)學(xué)無(wú)止境）

我們不妨從容斥原理的角度考慮此題，（定義A00=0！=1）

則f(4)=A44-C14A33+C24A22-C34A11+C44A00.

推廣：

f(n)=Ann-C1nAn-1n-1+C2nAn-2n-2-C3nAn-3n-3+…+ (-1)n-2Cn-2nA22+(-1)n-1Cn-1nA11+(-1)nCnnA00

=n!-n(n-1)!+n!2!(n-2)!(n-2)!- n!3!(n-3)!(n-3)!+…+ (-1)n-2n!2!(n-2)!2!+ (-1)n-1n!1!(n-2)!1!+(-1)n

=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

即n個(gè)元素的錯(cuò)位排列數(shù)公式為

f(n)=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生，在學(xué)習(xí)上要勇于探索，不怕困難，只要努力，必有收獲.

應(yīng)用舉例：（由學(xué)生完成）.

例1 （2004年湖北理）將標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，則恰好有3個(gè)球的標(biāo)號(hào)與其所在盒子的標(biāo)號(hào)不一致的放入方法共有種.（以數(shù)字作答）

解析 分析此題是3個(gè)元素的錯(cuò)位排列問(wèn)題.

f(n)=n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!.

又將n=3代入，得f(3)=3!12!-13!=3-1=2.

故所求方法共有C310×f(3)=240(種).

例2 編號(hào)為1至7的7個(gè)小球放入編號(hào)為1至7的7個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，其中恰有2個(gè)小球與盒子的編號(hào)相同的放法有種.

解析 分析此題是5個(gè)元素的錯(cuò)位排列問(wèn)題.

因?yàn)閒(n)=

n!12!-13!+14!-…+(-1)n-11(n-1)!+(-1)n1n!，

所以將n=5代入，得

f(n)=5!12!-13!+14!-15!=60-20+5-1=44.

故所求方法共有C57×f(5)=924(種).

在學(xué)習(xí)中，我們要不斷思考、創(chuàng)新，這樣才能領(lǐng)悟到其精髓所在，才能舉一反三，事半功倍.在教學(xué)中，我們應(yīng)大膽鼓勵(lì)學(xué)生去創(chuàng)新，去開(kāi)拓思維，并為學(xué)生思維的培養(yǎng)創(chuàng)造情景.