例談新課程應(yīng)注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力，習(xí)題教學(xué)能有效地提煉和推廣課本知識(shí)，特別是“一題多解”，能極大地拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，達(dá)到對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的目的.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)；三角函數(shù)線；數(shù)學(xué)思維

我省于2010年開始新課程改革，使用的教材是人教A版，在使用新教材進(jìn)行教學(xué)工作的近一年里，我深切地體會(huì)到數(shù)學(xué)教學(xué)既是數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，又是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).其中，知識(shí)是基礎(chǔ)，地位不可動(dòng)搖，但不能單單只強(qiáng)調(diào)知識(shí)而忽視數(shù)學(xué)思維的教學(xué).因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅需要傳授有用的數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)重視調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，使學(xué)生的思維能力得到有效地提高.

在必修A學(xué)習(xí)完“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”后，有這樣一道題目：

已知sinx+cosx=15，且x∈(0，π)，則tanx等于多少？

在教學(xué)過程中，學(xué)生與我共同探討，從不同的角度出發(fā)，得到了以下三種解法：

解法一 ∵sinx+cosx=15，sin2x+cos2x=1，x∈(0，π)，

∴1-cos2x+cosx=15，解得cosx=－35.

當(dāng)cosx=－35時(shí)，sinx=45，則tanx=sinxcosx=－43.

解法二 ∵sinx+cosx=15，

∴（sinx+cosx）2=125，解得2sinxcosx=－2425.

又 ∵x∈(0，π)，∴sinx＞0，cosx＜0，

∴sinx－cosx＞0，

∴sinx－cosx=(sinx+cosx)2-4sinxcosx=75.

聯(lián)立sinx+cosx=15與sinx－cosx=75，

解得sinx=45，cosx=-35，∴tanx=－43.

解法三 ∵sinx+cosx=15，

∴（sinx+cosx）2=125，

∴sin2x+2sinxcosx+cos2xsin2x+cos2x=125，

即tan2x+2tanx+1tan2x+1=125.

解得tanx=－43或－34.

∵tanx＜0，∴x∈π2，π，

∴sinx＞0，cosx＜0.

又∵sinx+cosx=15＞0，∴|sinx|＞|cosx|.

設(shè)x的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P，MP，OM，AT分別為其正弦線、余弦線和正切線（見圖示）.P′為3π4的終邊與單位圓的交點(diǎn)，AT′為其正切線.

∵|sinx|＞|cosx|，∴π2＜x＜3π4，則有|AT|＞|AT′|，

即tanx＞tan3π4=－1，∴tanx=－43.

解法一直接從題設(shè)出發(fā)，由“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”很容易得到其解法，其注重對(duì)課本基礎(chǔ)知識(shí)的考查.解法二技巧性較強(qiáng)，但若能得到“sinx－cosx=75”，則通過聯(lián)立方程就很容易得到sinx與cosx進(jìn)而解得tanx.解法三的靈感來源于《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)A（必修1）》（人教A版）第22頁的第三題：已知tanx=2，求sinx+cosxsinx-cosx的值.該解法巧妙地將分母“1”轉(zhuǎn)化為sin2x+cos2x，既體現(xiàn)了一種逆向思維，又為學(xué)生提供了一種靈活的轉(zhuǎn)換技巧，可謂是“一石二鳥”.解答的關(guān)鍵在于通過三角函數(shù)線對(duì)解得的tanx進(jìn)行驗(yàn)證.新教材中對(duì)任意角的三角函數(shù)是通過單位圓來定義的，這就使得學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線的認(rèn)識(shí)更為全面和深刻，因此上述驗(yàn)證過程不但沒有成為學(xué)生解題的障礙，還打開了學(xué)生的解題思維，并進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線的認(rèn)識(shí).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中，在“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過程的重要性，指出學(xué)生要經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹和類比與證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，并且在這種過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維，形成良好的思維品質(zhì)，提高思維水平，這就要求作為數(shù)學(xué)教師的我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中對(duì)于課本呈現(xiàn)的知識(shí)體系不能拘泥于形式，要進(jìn)行必要的提煉和推廣，達(dá)到對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的目的.