構建活潑\\生動\\高效的數學解題課堂教學

新課改對中學數學教育最大的觸動是人們的教學理念發生明顯的變化，在新授課的教學中不僅關注教學內容，更注重知識發生與發現的過程，關注學生的參與程度與相應情感的變化，突出學生的主體地位與作用.這些方面既有專家引領，又有很多一線老師參與，同時很多專業雜志積極配合，形成了好多優秀的案例包括經典的課堂教學實錄，充滿了活力.但在解題教學尤其是復習教學中，卻相對比較沉悶，因受教學容量、教學進度等因素的影響，常常又很容易回到老路上，不是用教學案就是用PPT一道接著一道地往前講，有時學生還沒有把題目的意思完全弄明白，就已經到了下一個題目，把學生晾在了一邊.作為老師，該講的雖然都講了，但有不少學生有時卻是一頭霧水，似懂非懂，效果自然不會好.我們認為，作為數學教學的一種基本課型——數學解題課教學也需要注入活水，開展理論與實踐方面的研究.數學解題課堂教學，首先是要選題，現在教學資料滿天飛，題目五花八門，選題的首要條件是體現課程標準和考試說明；其次是一定要符合學生的實際學情；再次是需要注意所選題目有一定的思考價值，具有代表性和典型性.在具體的教學過程中，不只是一個題目給了一個解答就算完事了，要引導所有同學都參與到條件的分析與尋找思路的過程中去，給各種不同的想法發表見解的機會，鼓勵一題多解，既促進個性發展，又拓寬解題思路，增加課堂思維的容量，進行不同知識板塊間的聯系與整合，同時進行變式訓練，以變求新，以變求實效，提升數學素養和能力，這樣才能實現高效率課堂教學，有利于構建活潑、生動與高效的課堂教學模式，提升數學教學的質量.

一、一題多解、縱橫聯系，讓思維活起來

同一道題，我們從不同的角度出發，可以產生各種各樣不同的解法，這樣既能激發學生的學習熱情，鼓勵學生各抒己見，調動思考的積極性，充分體現學生的主體地位，又可以開闊視野，增加知識容量，有效訓練基本技能技巧，提高課堂效率.這里選題尤其重要，既要難度適中，能夠讓學生動起來，又利于“借題發揮”，發揮老師的主導作用.如向量的綜合運用，我們選擇了例1進行訓練與研究，收到比較好的課堂教學效果.

例1 如圖，在△ABC中，AB=4，AC=3，D是邊BC的中點，則AD#8226;BC=.

解法1 常規方法：先選擇好基向量，用基向量表示出BC和AD，然后用向量數量積的定義進行計算.

令AB=a，AC=b，則BC=AC-AB=b-a，

AD=12(a+b)，∴AD#8226;BC=12(b2-a2）=-72.

這里解法1是處理這類問題的通法，基本出發點利用平面向量基本定理，將AD和BC用基向量AB，AC表示出來，然后用向量數量積的定義計算.

解法2 用余弦定理處理：設AD=m，BD=DC=n，∠BDA=θ，則在△ABD中，

42=AB2=m2+n2-2mncosθ.

又 在△ADC中，

32=AC2=m2+n2-2mncos(π-θ)

=m2+n2+2mncosθ，

以上兩式相減，得mncosθ=-74.

∴AD#8226;BC=m#8226;2ncosθ=2mncosθ=-72.

二、類比聯想、點面結合，讓題目變起來

例2 已知數列{an}前n項的和是Sn.若{an}是等差數列，比較Sn+1+Sn-1(n≥2)與2Sn的大小.

分析 設{an}的公差是d，則Sn=na1+n(n-1)2d，

于是Sn+1+Sn-1-2Sn=d(n≥2).

所以當d=0時，Sn+1+Sn-1=2Sn，等價于數列{Sn}成等差數列.

當d>0時，Sn+1+Sn-1>2Sn;

當d<0時，Sn+1+Sn-1<2Sn.

即d≠0時，數列{Sn}不能成等差數列，這里n-1，n，n+1成等差數列，推廣一下有什么結論?

變題1 若{an}是等差數列，n

分析 易知Sn+Sk-2Sm=(n-k)2d4，結論與原題相同.

將等差數列與等比數列類比又有什么結論?

變題2 若{an}是等比數列， n

分析 設等比數列{an}的公比是q，數列n，m，k的公差是d.

則q=1時，Sn=n，SnSk-S2m=-(n-k)24<0；

q≠1時，Sn=a1(1-qn)1-q，設a11-q=A，則

Sn#8226;Sk-S2m=A(1-qn)#8226;A(1-qk)-A2(1-qm)2

=A2(-qn-qk+2qm)

=A2(-qn)(1+q2d-2qd)

=-a21qn(1-qd)2(1-q)2.

當qn<0時，SnSk-S2m>0；

當qn>0時，SnSk-S2m<0.

顯然，數列{Sn}不能成等比數列.將數列{an}中的項作點微調便有精彩的變題：

變題3 設{an}滿足a1=1，a2=2，anan-1=qn-2(n≥3，q>0)，若{Sn}成等比數列，求q的值.

分析 由條件a1=1，a2=2，

當n≥3時，Sn=2n-1(q=1)，1+21-q-21-qqn-1(q≠1)，

當q=1時，{Sn}顯然不成等比數列；

當q≠1時，

S2n+1-Sn#8226;Sn+2

=3-q1-q-21-q#8226;qn2-3-q1-q-21-q#8226;qn-1#8226; 3-q1-q-21-q#8226;qn+1

=2(3-q)#8226;qn-1.

所以當q=3時，SnSn+2=S2n+1，數列{Sn}是等比數列.

當q>0且q≠3時，顯然Sn-1Sn+1≠S2n.

三、及時反思、揭示本質，讓知識長起來

例3 已知定義在R上的偶函數f(x)滿足條件：f(x+1)=-f(x)，且在［-1，0］上是增函數，給出下列關于f(x)的命題：

①f(x)是周期函數.

②f(x)的圖像關于x=1對稱.

③f(x)在［0，1］上是增函數.

④f(x)在［1，2］上是減函數.

⑤f(2)=f(0).

其中真命題的序號是.

分析 由f(x+1)=-f(x)推出f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以2為周期的周期函數，所以f(1-x)=f(2-(1+x))=f(1+x)，即f(x)的圖像關于直線x=1對稱.故真命題的序號是：①②⑤.

本例中函數f(x)的圖像有一條對稱軸x=0，當推出其是周期函數時，我們推出其又有另一條對稱軸x=1.那么函數的周期性與圖像對稱性是否有必然的聯系呢？學生在老師的引導下進行反思，不難發現以下規律：

結論1 一般地，函數y=f(x)是周期為T的周期函數且有一條對稱軸x=a，則它必有另一條對稱軸x=b，且T=2|a-b|.

事實上，f(b+x)=f［b+x+2(a-b)］

=f［a+(a-b+x)］

=f［a-(a-b+x)］=f(b-x)，

所以x=b是函數f(x)圖像的一條對稱軸.

上述命題的逆命題是：函數y=f(x)有兩條對稱軸x=a，x=b，則它是周期為T的周期函數且T=2|a-b|.此命題亦為真，與結論1互相為逆定理.類似地，我們還可以引導學生發現：

結論2 函數y=f(x)滿足：

(1)f(a-x)=f(a+x)，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a對稱，反之亦然.

（2）f(a-x)=f(b+x)，則函數y=f(x)的圖像關于直線x=a+b2對稱，反之亦然.

(3)f(a-x)+f(a+x)=m，則函數y=f(x)的圖像關于點a，m2對稱，反之亦然.

(4)f(a-x)+f(b+x)=m，則函數y=f(x)的圖像關于點a+b2，m2對稱，反之亦然.

四、靈活轉化、辯證思考，讓思路寬起來

例4 已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸上，設A，B是拋物線C上的兩個動點(AB不垂直于x軸)，若AF+BF=8，過兩點A，B的動圓C恒過定點Q(6，0)且QC⊥AB，求拋物線的方程.

分析 這里AF，BF是拋物線的焦半徑，抓住拋物線的定義，條件AF+BF=8可轉化為xA+xB+p=8.而條件“過兩點A，B的動圓C恒過定點Q(6，0)且QC⊥AB”等價于線段AB的中垂線恒經過定點Q(6，0)，則有多種轉化途徑.

轉化1 設直線AB和拋物線的方程分別是y=kx+n(k≠0)，y2=2px(p>0).聯立方程并消去x，得ky2-2py+2pn=0.

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點T(x0，y0)，則

y1+y2=2pk，y1y2=2pnk，

∴x1+x2=1k(y1+y2-2n)=1k2pk-2n.

又 x1+x2=8-p，

∴有4-p2=pk2-nk.①

又 Tpk2-nk，pk，

∴AB中垂線的方程是y-pk=-1kx-pk2+nk，

把Q(6，0)代入，得pk2-nk=6-p.②

由①②，得p=4，∴拋物線的方程是y2=8x.

轉化2 設拋物線的方程是y2=2px(p>0).

A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點T(x0，y0)，則有

y21=2px1，①

y22=2px2.②

兩式相減并整理，得y1-y2x1-x2=py0.

∴線段AB的中垂線方程是y-y0=-y0p(x-x0)，

把Q(6，0)代入，得x0=6-p.③

又 x1+x2=8-px0=4-p2.④

由③和④，得p=4，∴拋物線的方程是y2=8x.

轉化2采用點參數結合點差法處理，巧用拋物線中點弦性質，過程流暢、簡捷，是解決這類題型的通用方法，這種處理比轉化1實用、方便.

轉化3 設拋物線的方程是y2=2px(p>0)，

A(x1，y1)，B(x2，y2).由條件

|QA|=|QB|(x1-6)2+y21=(x2-6)2+y22(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.

又 x1≠x2，∴x1+x2-12+2p=0.

把x1+x2=8-p代入，得p=4.∴拋物線的方程是y2=8x.

這里線段AB的中垂線恒經過定點Q(6，0)有三種基本的轉化途徑.轉化1思路自然，但參數個數多，處理難度大；轉化2用點差法揭示弦中點坐標與弦斜率的關系，處理起來相對比較簡便；轉化3緊緊扣住條件|QA|=|QB|進行處理，實質上還是點差法，但表達更加方便.同一個條件有多種轉化，不同的學生會選擇不同的轉化，只要能夠解決問題，都是可以的，應該鼓勵學生靈活轉化.當然老師可以引導學生比較各種方法的長處與不足，在今后學習中借鑒.

解題教學是引導同學由知識上升為能力的重要途徑，如何揭示方法的本質，舉一反三，減輕學生負擔，實施高效率的解題教學是我們追求的目標，這里無論是理論方面還是實踐方面都有值得探討的價值.我們提出讓題目活起來，增強師生互動，可以更好地體現學生的主體地位，推動有效教學的展開，讓學生學得輕松、高效.一直堅持做下來，我們的學生會更有靈氣，更可愛.同時我們也希望學習到同行更好的做法，推動新課改不斷走上新臺階.