四色問題的幾何邏輯證明

【摘要】本文的主要思路就是運用區域必閉合的定義和兩個區域的公共邊不能成為第三個區域的邊線的引理.首先對兩相鄰區域的相鄰類別進行劃分，將其相鄰方式分為簡單的三種：（1）包含；（2）不包含，相鄰邊數為一；（3）不包含，相鄰邊數≥2.以簡單的邏輯類別來囊括具體圖形所存在的、所有的可能形態，并以此向三個、四個互相鄰區域推演.得出：若滿足平面上四個區域兩兩相鄰，則其中必有內包含區域.本文每一步都旨在構筑一種圖形結構的類型，肯定一種類型，或否定一種類型.用類型來概括規范同屬于這一類（具有此類性質）的所有圖形.每一張圖都是為了代表一種類型，勾畫它的結構類型性質.圖例是為了更好地表達邏輯陳述的一種外在借助手段，每一步的推導不是對一個圖形具體的觀察，而是在對已知條件和相關引理的反復推斷中證明一個存在（邊線或閉合區域）的邏輯必然性.最終證明：平面上四個互相鄰的幾何區域中必存在內包含區域.

【關鍵詞】區域；閉合；公共邊；邊線；相鄰；內含區域

四色問題的幾何邏輯證明一直是諸多業內專家和數學愛好者所熱衷的命題，本文嘗試用反證法，以對圖形的分類分析為切入點，繞開具體的圖形形狀、大小的局限，而考慮其相鄰邊的數量特征、公共交點分布、與存在內含區域可能性的必然聯系.經過層層枚舉，排除所有情況，得出四相鄰的特征（內包含）.由于內含區域的存在，五個就不可能，問題成立.所以本文大部分一直在探討構筑無內含區域存在的區域之間的相鄰特征.當區域數為四時，內含區域必然出現.四色問題即成立.

一、引理部分

引理1 一個區域邊界上的任何兩點間均有連續不間斷的兩條有效邊線相連.區域：即能夠形成有效面積（面積大于0）的閉合的連通的曲線結構.任何區域必然是由連通的、不間斷曲線（包括直線）所圍成的有效面積結構.該區域上任何確定的兩點A，B，都存在唯一邊線AB，BA，構成該區域的所有邊線.如圖1，且A，B點一旦確定，AB，BA有且唯一.

圖1：區域上任何確定的兩點A，B，都存在唯一邊線AB，BA，構成該區域的所有邊線.

引理2 平面上的一條直線L可分平面為以直線L為界的兩部分，且只為兩部分.

引理3 兩個區域的公共邊不能成為第三個區域的邊線.或者說三個相鄰的區域之間不存在共同的相鄰邊.或者也可以說兩個區域的公共邊上任何兩點之間的邊線不再構成其他區域的邊線（排他性）.

此引理由引理2導出，為下文論證的主要依據.證明如下：假設兩個區域的公共邊可以成為第三個區域的邊線，首先將這條不規則的邊線無限細分，這樣曲線就可看成由無限多個直線段組成.取其中一段，端點為A，B.延長AB兩端作直線將平面分為兩部分，記為S1，S2.S1，S2以AB為界(引理二).則同一平面上的區域3或在S1上，或S2上.或兩者各占其部分.取區域1邊線上一點C（該點不在AB的延伸線上）與AB構成一個三角形，其高為h1.同理取區域2上一點D與AB構成△ABD，其高為h2，△ABC與△ABD以AB為鄰，取區域3上一點E構成△ABE(點E不在直線AB上)，其高為h3.則△ABE非S1即S2（引理2）.設在S1上，△ABE和△ABC與△ABD共鄰于AB，則△ABE與△ABC為同底共面三角形.△ABE面積為AB×h32，△ABC面積為AB*h12，重合面積為AB×（h3-h1）2，與同面相鄰——共邊矛盾.故不存在區域3與區域1，2以AB為鄰.同理可得曲線上任意一段上引理3都成立，則整個公共邊曲線成立.

引理4 被包含區域同構成包含區域外的其他區域不相鄰.

二、為證明不存在兩兩相鄰的五個區域， 首先討論任意兩個相鄰區域1，2的相鄰結構情況

（一）包 含

分析 （一）區域1被包含于區域2中，則區域1與區域2之外的任何其他區域不構成相鄰關系.不滿足五個區域兩兩相鄰.此類型排除.

（三）不包含相鄰，有兩條以上公共邊.為便利起見，討論兩條公共邊的情況：區域1與區域2相鄰于AB，CD，根據引理1（一個區域內的任何兩點均有連續不間斷的有效邊線相連），區域1內必存在邊線BC1聯系B與C，（根據引理1，實際上也存在其反向邊C1B聯系B與C.BC1與C1B共同構成區域1，根據已知條件：區域1與區域2相鄰于AB，CD，及引理1:閉合區域中任何確定的兩點A，B，都存在唯一邊線AB，BA，構成該區域的所有邊線.用反證法可易證：AB，CD非存于BC1即存于C1B.為方便敘述，在此以反向的C1B代表含有相鄰邊的邊線，由于含有相鄰邊的反向邊對本文的推導構不成幫助，所以下文的討論均直接就不含已知區域相鄰邊的邊線展開.）且BC1不是區域2的邊線.（已知區域1與區域2相鄰于AB，CD，）同理，區域2也存在邊線BC2聯系B與C.由于BC1為區域1的邊線，BC2為區域2的邊線，且二者不構成重合或部分重合（根據已知的，確定的相鄰邊）.BC1與BC2相交于B，C兩點，則BC1與BC2構成有效閉合區域，該區域計為3.區域3與區域1相鄰于BC1，與區域2相鄰于BC2.根據引理3［兩個相鄰區域相鄰公共邊確定，就不可能存在第三個區域以這些公共邊（或其部分）為界與這兩個區域相鄰］，區域3被區域1、區域2所包含.同理將公共邊拓展到n個，可證有n-1個內包含區域存于區域1，2之中.綜上得：兩個相鄰區域中若無內含區域，則其兩個區域之間的公共邊只能為一個.如（二）所述：不包含相鄰，有且只有一條公共邊.

假設存在五個互相鄰區域，那么其中的任意兩個區域之間，只有兩種可能：1.無內含區域（有，且只一條公共邊）.2.有內含區域，且只為三個.因為假如為兩個或一個，這兩個或一個為內包含區域，根據引理4被包含區域同構成包含區域外的其他區域不相鄰，就構不成五個相鄰區域.3.這兩個區域之間無完整的閉合區域，但能夠與五相鄰區域中其他一個或兩個相鄰區域共同包含另外兩個或一個區域.就此本文分為兩個部分探討：1和2合為一個部分分析；3的這種可能性另述.下面先探討三個無內含互相鄰區域的特征，完成1和2的分析.

三、三區域相鄰的分析論證

（一）一區域包含其他兩個相鄰區域

（三）（3-1）三相鄰區域中每兩個區域的公共邊多于一條，且公共邊不交于一點（為幾段不連通的邊線）.（3-2）三相鄰區域中每兩個區域的公共邊多于一條，公共邊交點為一（此種類型為不可能，因為兩個區域的公共邊多于一條，各公共邊之間必然斷開，即不可能出現公共交點為一的可能，直接排除）.

（四）三相鄰區域中每兩個區域的公共邊只有一條，但不交于一點（公共邊為三段或兩段不連通的邊線），如圖7.

（一）條件下一區域包含其他兩個相鄰區域，或被其他兩區域包含.有內含區域，排除.

（三）（3-1）、（3-2）條件下三相鄰區域中每兩個區域的公共邊多于一條，根據兩個區域相鄰公共邊多于一條，必然存在內包含區域，排除（3-1）及（3-2）.

下面分析（四）：公共邊數量為一，交點多于一的情況.為方便討論，以公共邊為不連通的三段為例.如圖7.

區域1相鄰區域2為AB，區域2相鄰區域3為CD，區域1相鄰區域3為EF.因為區域1相鄰區域2為AB，區域1相鄰區域3為EF，B，E兩點不重合，各為區域1之邊線上的兩點，根據引理1得：必然存在BE.因為AB與EF為區域1上不連續的兩段邊線，根據引理3得：AB上無區域3之邊線.EF上沒有區域2之邊線.B，E為區域1上的兩點，(根據已知條件：區域1相鄰區域2為AB，區域1相鄰區域3為EF)則BE上任何兩點之間均無區域2，3的邊線存在.同理必然存在EC，CB，且EC上無區域1，2之邊線，CB上無區域1，3之邊線.如此可得由BE，EC，CB構成的閉合有效面積之結構，計為4.區域4鄰區域1為BE，鄰區域3為EC，鄰區域2為CB.BE，EC，CB連接閉合，根據引理3:［兩個相鄰區域相鄰公共邊確定，就不可能存在第三個區域以這些公共邊（或其部分）為界與這兩個區域相鄰］得CB，BE，EC，CB構成的區域4與其他區域不相鄰.其內包含于區域1，2，3之間，與任何第五個區域不相鄰.與假設存在的五區域相鄰矛盾，故排除這種相鄰結構的可能.同理可證：相鄰邊交于兩點，亦有內含區域存在.不再贅述.那么只剩下一種情況:（2）三相鄰區域中每兩個區域的公共邊只有一條，且交于一點.如圖6，這實際上就是判斷三個互相鄰區域中有無內含區域的一個特征（公共邊多于一條，必無公共交點，必有內包含區域）.用前文思路可細證之.

對于這種無內含區域的三區域相鄰結構，另外兩個相鄰區域與其相鄰，會有什么情況呢？三個相鄰區域與兩個相鄰區域兩兩相鄰，那么這三個區域必與兩個中的一個兩兩相鄰，下面就來討論這三個與其中一個的情況.如圖8：

區域1鄰區域2為AO，與區域3鄰于BO.區域2與區域3鄰于OC.區域4與區域1鄰于S1S2，與區域2鄰于S3S4，與區域3鄰于S5S6.因為區域1鄰區域2為AO，區域1與區域4鄰于S1S2.點S2，A為區域1上之兩點，由引理1得：區域1之S2A存在.根據已知條件：區域1鄰區域2為AO，與區域3鄰于BO.區域4與區域1鄰于S1S2，可得：S2A上無區域2，3，4的邊線存在.同理得：區域2上之AS3存在，且AS3上無區域1，3，4的邊線存在.因為S1S2為區域1和4的公共邊，S3S4為區域2和4的公用邊，得S2，S3為區域4邊線上兩點.根據引理1，必存在區域4上之邊線S3S2（S1S2，S3S4已以相鄰邊方式存在）.根據區域4與區域1，2，3已知的相鄰邊，得S3S2上無區域1，2，3之邊線.S2A，AS3，S3S2構成閉合區域X.同理：S4C，CS5.S5S4構成閉合區域Y，因為區域2鄰區域1于AO，鄰區域X為AS3，鄰區域4于S3S4，鄰區域Y之于S4C，鄰區域3之于OC.根據引理3:兩個相鄰區域相鄰公共邊確定，就不可能存在第三個區域以這些公共邊（或其部分）為界與這兩個區域相鄰.則區域2為區域1，3，4，X，Y包含.同理得：區域X，Y皆為內包含區域.區域X內含于1，2，4之間.區域Y內含于2，3，4之間.根據假設：該平面存在五個互相鄰區域.區域2為區域1，3，4，X，Y包含.則第五個區域必為X，Y中的一個，而區域X內含于1，2，4之間，與區域3不相鄰.區域Y內含于2，3，4之間，與區域1不相鄰.得出X或Y不是五相鄰區域中之一.所以假設錯誤.再分析另一種情況：假設點S2=S3，S4=S5.即區域4與區域1，2，3的相鄰邊為連續的不間斷連線.根據以上推導思路亦可得：區域2內包含于區域1，3，4中.不再贅證.所以，若滿足平面上四個區域兩兩相鄰，則其中必有內包含區域.

四、兩個區域之間無完整的閉合區域，但能夠與五相鄰區域中其他一個或兩個相鄰區域共同包含另外兩個或一個區域

這個問題可分解為：（1）三區域內含兩區域.（2）四區域內含一區域.四區域包含一區域的情況可將四個互相鄰再分解為三個和一個.因已證明四個互相鄰區域中必存在內包含區域，所以排除這種可能性.三區域內含兩區域可轉化為內含之兩區域同其外圍三區域中任意一個區域相鄰的問題.依前文分析可得這三個區域必無內含區域，否則與其外兩個必不相鄰，這樣就又轉化為三個互相鄰的無內含區域再與第四個區域相鄰的問題.返上文所述，不再贅筆了.

綜上所述，根據引理4：被包含區域同構成包含區域的其他區域不相鄰.得：不存在五個兩兩相鄰的區域.

本文實際上一直是根據設定的已知條件反復運用區域必閉合的性質和引理3的排他性.區域必閉合，揭示隱含的邊線.引理3排除不存在的邊線（區域），逐步將命題引向不可能性.利用文中的四條引理，實際上根據引理1，3可以有更好的、更直觀嚴密的、不同的邏輯表達方式，因為時間關系，不能再將它構筑得更好，請各位同仁指正.

【參考文獻】

［1］蘇步青.拓撲學初步.上海：復旦大學出版社，1986.

［2］江澤涵.拓撲學引論.上海：上海科學技術出版社.