變換的不變性在研究與橢圓有關(guān)問題中的應(yīng)用

【摘要】本文對橢圓化為圓的變換進(jìn)行了分析，得到一些不變性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，利用圓的性質(zhì)解決了橢圓的有關(guān)問題.

【關(guān)鍵詞】變換；不變性；橢圓

圓是特殊的橢圓，具有比橢圓更多的優(yōu)美性質(zhì)，并且我們對圓有更多的了解，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q能把橢圓化為圓.本文對橢圓化為圓的變換進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上，利用圓的性質(zhì)解決橢圓有關(guān)的問題.

1.定理及證明

定理1 若直線l1∥l2，其方程為l1：m1x+n1y+t1=0（m1，n1不同時(shí)為0）和l2：m2x+n2y+t2=0（m2，n2不同時(shí)為0），在變換x=au，y=bv，ab≠0下，對應(yīng)直線分別為l′1和l′2，則l′1∥l′2.

證明 ∵直線l′1∥l′2，∴m1n2=m2n1且m1t2a≠m2t1a或n1t2b≠n2t1b.

即有(m1a)(n2b)=(m2a)(n1b)且［(m1a)(t2)≠(m2a)(t1)或(n1b)(t2)≠(n2b)(t1)］.(*)

∴變換后l′1和l′2方程分別為

l′1：(m1a)u+(n1b)v+t1=0和l′2：(m2a)u+(n2b)v+t2=0.

∴由(*)得知l′1∥l′2.

定理1說明了平行直線變換后仍然是平行直線.

由分點(diǎn)性質(zhì)，可以證明如下定理.

定理2 若線段AB兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，點(diǎn)P(x3，y3)分有向線段AB所成的比為λ，在變換x=au，y=bv，ab≠0下，P點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)P′分有向線段AB的對應(yīng)線段A′B′所成的比為λ′，則λ=λ′.

定理2說明了線段的定比分點(diǎn)分線段所成的比等于變換后分點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分對應(yīng)線段所成的比.

推論 線段中點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)變換后仍然是對應(yīng)線段的中點(diǎn).

2.應(yīng)用舉例

下面通過具體例題，體會(huì)如何利用上面的定理，解決橢圓的有關(guān)問題.

例1 如圖1，過橢圓x2a2+y2b2=1(a>0，b>0)外一點(diǎn)P作橢圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP交橢圓于N，連接AB交OP于M，求證：（1）M為AB的中點(diǎn)；（2）|ON|2=|OM||OP|.

證明 設(shè)x=au，y=bv，ab≠0，則u2+v2=1，令P，A，B，N，N，O在變換下的對應(yīng)點(diǎn)分別為P′，A′，B′，N′，M′，O′（如圖2），依據(jù)變換的性質(zhì)，PA，PB的對應(yīng)直線P′A′，P′B′為單位圓u2+v2=1的切線，A′，B′為切點(diǎn)，M′點(diǎn)為O′P′與A′B′的交點(diǎn)，∴由圓的性質(zhì)知M′為A′B′的中點(diǎn).

故M為AB的中點(diǎn).

又 ∵在Rt△O′A′P′中，|O′A′|2=|O′M′||O′P′|，|O′A′|=|O′N′|，

∴|O′N′|2=|O′M′||O′P′|，即|O′N′||O′M′|=|O′P′||O′N′|.

∴|ON||OM|=|OP||ON|，∴|ON|2=|OM||OP|.

評(píng)注 本題的轉(zhuǎn)化把橢圓的切線問題轉(zhuǎn)化為圓的切線問題，把長度不定的ON轉(zhuǎn)化為長度恒等于1的|O′N′|，充分利用圓的性質(zhì)，使證明變得簡潔.

例2 如圖3，直線l：y=kx+1與橢圓x2+y22=1交于點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

解 設(shè)x=u，y2=v，橢圓x2+y22=1轉(zhuǎn)化為單位圓u2+v2=1，直線l:y=kx+1轉(zhuǎn)化為2v=ku+1，平行四邊形OAPB轉(zhuǎn)化為菱形O′A′P′B′（如圖4）.設(shè)P′(u，v)，由O′P′⊥A′B′及O′P′的中點(diǎn)在A′B′上有vu×k2=-1，2v2=ku2+1，消去k，得u2+v2=2v.由vu×k2=-1，得v≠0.轉(zhuǎn)化為x-y平面中的P點(diǎn)的軌跡方程為2x2+(y-x)2=1(0

評(píng)注 本題把橢圓轉(zhuǎn)化為圓后，同時(shí)也把平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形，從而為求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡創(chuàng)造了更多有利的條件，簡化了解題過程.

【參考文獻(xiàn)】

［1］梅向民，劉增賢，王江淳，王智秋.高等幾何［M］.高等教育出版社，2000.

［2］朱德祥.初等幾何研究［M］.高等教育出版社.

［3］何作發(fā).仿射幾何幾點(diǎn)應(yīng)用.湖北大學(xué)成人教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，22（4）.

［4］尤承業(yè).解析幾何.北京大學(xué)出版社，2004.

［5］陳志杰，陳咸平，林磊.高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精解.科學(xué)出版社，2002.