和學(xué)生一起體驗數(shù)與形的和諧統(tǒng)一

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù)是在傳授知識和方法的同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)素質(zhì)的精髓與靈魂.數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中的重要數(shù)學(xué)思想之一，滲透于數(shù)學(xué)的各個環(huán)節(jié)之中，筆者在《二元一次方程的圖像解法》課堂教學(xué)中與學(xué)生一起從不同的角度體驗了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.

【關(guān)鍵詞】二元一次方程（組）；一次函數(shù)圖像；數(shù)形結(jié)合

案例背景

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù)早已不再是簡單的知識和方法傳授，而是通過數(shù)學(xué)教學(xué)，在傳授知識與方法的同時，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).而數(shù)學(xué)思想方法又是數(shù)學(xué)素質(zhì)的精髓與靈魂，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心.數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)思想中的重要數(shù)學(xué)思想之一，滲透于數(shù)學(xué)的各個環(huán)節(jié)之中.

在《二元一次方程的圖像解法》的前面已經(jīng)分別學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和二元一次方程組，這節(jié)課研究二元一次方程組（數(shù)）和一次函數(shù)圖像（形）的關(guān)系，是這兩章知識的綜合運用．滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化了知識與知識的內(nèi)在聯(lián)系，并為今后研究方程、不等式和函數(shù)圖像間的關(guān)系及高中解析幾何的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).筆者在課堂教學(xué)中做了一些嘗試，通過由數(shù)到形、由形到數(shù)、數(shù)形統(tǒng)一、以形助數(shù)、以數(shù)解形、課外延伸共六個環(huán)節(jié)，在教和學(xué)的過程中滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，與學(xué)生一起從不同的角度體驗了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.

案例過程

情境：你認(rèn)識“y=x+2”嗎？

學(xué)生：可以是二元一次方程也可以是一次函數(shù).

感受二元一次方程與一次函數(shù)形式上的統(tǒng)一.

一、由數(shù)到形

探究二元一次方程y=x+2的解與一次函數(shù)y=x+2的圖像的關(guān)系.

師：這個二元一次方程有多少個解？你能把它們的解用平面直角坐標(biāo)系中的點表示出來嗎？請你動手畫一畫.

（全班同學(xué)在坐標(biāo)紙上描點，教師巡視，對需要幫助的學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo).不一會兒，就有不少學(xué)生舉手發(fā)言了.）

生1：我先寫出了方程的兩個解，然后把x的值作為橫坐標(biāo)，把y的值作為縱坐標(biāo)，就能夠在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點了，這樣就可以用平面直角坐標(biāo)系中的點來表示二元一次方程的解了.

師：你的想法很好，其他同學(xué)還有別的想法嗎？

生2：按照生1的做法，只能在平面直角坐標(biāo)系中描出有限個點，而二元一次方程有無數(shù)個解，怎樣才能把一個二元一次方程的解全部用平面直角坐標(biāo)系中的點表示出來呢？

師：這個問題提得很好！請同學(xué)們多寫出幾個二元一次方程的解，再在平面直角坐標(biāo)系中描出它們相應(yīng)的點，觀察你描出的點，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（大家都已經(jīng)畫出了相關(guān)圖形，老師請大家把自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律說一說.）

生3：我在平面直角坐標(biāo)系中描出了方程y=x+2的一部分解，我發(fā)現(xiàn)我描出的點都在同一條直線上，這條直線就是函數(shù)y=x+2的圖像.

本環(huán)節(jié)探索的過程遵循的是從有限個數(shù)到有限個形，從無限個數(shù)到無限個形的探索過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納猜想，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

二、由形到數(shù)

探究一次函數(shù)y=x+2的圖像上的點與二元一次方程組解的關(guān)系.

在平面直角坐標(biāo)系上畫出一次函數(shù)y=x+2的圖像.

師：一次函數(shù)y=x+2的圖像上的點有多少個？把它們的坐標(biāo)找到，它們與二元一次方程y=x+2有什么關(guān)系呢？

生4：我猜想這條直線上所有點的坐標(biāo)都是二元一次方程y=x+2的解.

師：何以見得？

（學(xué)生驗證）

生4：我在這條直線上找了一個點（5，7），然后把x＝5，y＝7代入方程y=x+2中，方程的左右兩邊的值相等.

師：除了坐標(biāo)為整數(shù)的以外，還有嗎？

生5：有，例如點（5.5，7.5）的坐標(biāo)也滿足方程y=x+2.

師：你們還有其他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：我還發(fā)現(xiàn)以方程y=x+2的解為坐標(biāo)的點都在我畫的這條直線上，例如，我取x＝4.5，y＝6.5，然后描出點（4.5，6.5），這個點恰好在所畫的直線上.

本環(huán)節(jié)的探索過程同樣遵循了由特殊到一般的規(guī)律，如果利用幾何畫板找到直線上任意一點的坐標(biāo)，再驗證是否為方程的解效果更好.

三、數(shù)形統(tǒng)一

師：大家通過自己動手描點、畫直線，觀察、探究出了一些規(guī)律，誰能夠把同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)給予歸納？

生7：我認(rèn)為以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點都在一次函數(shù)y=x+2的圖像上，反過來，一次函數(shù)y=x+2的圖像上任意一點的坐標(biāo)都是二元一次方程y=x+2的解.

二元一次方程y=x+2的一個解——一次函數(shù)y=x+2的圖像上的一個點；

二元一次方程y=x+2的所有解——一次函數(shù)y=x+2的圖像上的所有點.

一次函數(shù)圖像上有無數(shù)個點，而二元一次方程有無數(shù)個解，無數(shù)個解與無數(shù)個點，真是“天作之美”!

師：一次函數(shù)y=x+2與一次函數(shù)y=3-x的圖像，與相應(yīng)的二元一次方程組y=x+2，y=3-x的解有關(guān)系嗎？

（有的學(xué)生在原來的平面直角坐標(biāo)系上又畫出了一次函數(shù)y=3-x的圖像，有的同學(xué)在進(jìn)行思考.）

生8：我觀察發(fā)現(xiàn)，一次函數(shù)y=x+2與一次函數(shù)y=3-x的圖像相交于一點，這個交點的坐標(biāo)是（0.5，2.5），我們認(rèn)為二元一次方程組y=x+2，y=3-x的解就是x=0.5，y=2.5.

師：你怎么肯定x=0.5，y=2.5就是方程組y=x+2，y=3-x的解呢？

生8：把x＝0.5，y＝2.5分別代入方程y=x+2和y=3-x中，發(fā)現(xiàn)這兩個方程的左右兩邊的值相等，所以x=0.5，y=2.5是方程組y=x+2，y=3-x的解.

師：看來二元一次方程組也可以通過觀察對應(yīng)一次函數(shù)圖像的方法求解.

通過以上過程讓學(xué)生感受二元一次方程和一次函數(shù)的辯證統(tǒng)一，感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在的聯(lián)系.

四、以形助數(shù)

圖像法解二元一次方程組：

（1）2x+y=4，x-y=-1. （2）2x-2y=4，x-y=-1.

對于（1），學(xué)生通過轉(zhuǎn)化，可以將兩個二元一次方程轉(zhuǎn)化成兩個一次函數(shù)的形式，再在同一平面直角坐標(biāo)系上畫出兩個一次函數(shù)的圖像，并且找出它們的交點坐標(biāo)，于是學(xué)生很快地找到了二元一次方程組的解，所以馬上就有學(xué)生報出了答案.

對于（2），學(xué)生七嘴八舌地展開了討論：

生9：老師，題目有問題，解不出來??！

生10：不是解不出來，而是沒有解.我畫出了二元一次方程組2x-2y=4，x-y=-1中對應(yīng)的兩個一次函數(shù)的圖像進(jìn)行了觀察，發(fā)現(xiàn)它們的圖像是平行的，沒有交點，方程組2x-2y=4，x-y=-1無解.

生11：我認(rèn)為方程組2x-2y=4，x-y=-1的確是無解的.我們討論后認(rèn)為圖像沒有交點，圖像代表的二元一次方程沒有公共解，方程組就無解.

師：很好！同學(xué)們可以對這個結(jié)論加以驗證.

經(jīng)過我們的集體合作交流發(fā)現(xiàn)：

兩個一次函數(shù)的圖像（兩條直線）相交——對應(yīng)二元一次方程組有唯一解；

兩個一次函數(shù)的圖像（兩條直線）平行——對應(yīng)二元一次方程組無解.

這就是數(shù)與形的美妙結(jié)合.

師：請大家課后思考：如果兩條直線剛好重合，則這兩條直線所代表的方程組的解又如何呢？

由于“數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點，能表達(dá)較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對應(yīng)——“形”找出來，利用圖形來解決問題.本環(huán)節(jié)從圖像（形）的角度去研究什么時候二元一次方程組有唯一的解（數(shù)），什么時候二元一次方程組沒有解，并且提出類似的問題，作為研究活動的深化，有助于發(fā)展學(xué)生思維的深度和廣度.

五、以數(shù)解形

A，B兩地相距828 km，如圖是一列慢車和一列快車沿相同的路線從A地到B地所行駛的路程y(km)和行駛的時間x(h)的變化圖像.根據(jù)圖像回答下列問題：

（1）慢車比快車早出發(fā)h.

（2）快車比慢車早h達(dá)到B地.

（3）你能很快求出表示快車、慢車在行駛過程中的路程y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系嗎？

（4）快車出發(fā)多長時間才追上慢車？

有些題目雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復(fù)雜的“形”，不但要正確地把圖形數(shù)字化，而且要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計算.從數(shù)的角度去解決關(guān)于圖像的實際問題，更加的方便和準(zhǔn)確.

六、拓展延伸

1.如圖，觀察圖像，寫出方程組y=x2-2x，y=2x-3的解.

2.你能探索出下列方程組的解嗎？

y=3x，y=x5-1.

案例分析

課堂教學(xué)流程圖：

1.由數(shù)到形，由形到數(shù).從兩個方面學(xué)生全面深入地理解了二元一次方程組的解（數(shù)）和二元一次方程的圖像（形）的關(guān)系，從數(shù)和形的角度實現(xiàn)了認(rèn)識上的統(tǒng)一，從而學(xué)生自己歸納并探索出了一般性的規(guī)律，但是也有學(xué)生對這個結(jié)論僅僅停留在接受階段，主要是因為學(xué)生參與課堂的主動性和過程性還不夠.

2.以形助數(shù)，以數(shù)解形，即用代數(shù)法研究圖形問題，用圖形法研究代數(shù)問題.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說得好：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使得復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來解決一些抽象數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果.

利用圖像解二元一次方程組的方法:先在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出這兩個二元一次方程的圖像，它們是兩條直線，然后根據(jù)兩條直線有一個交點，則可得到交點的坐標(biāo)(x，y)，它就表示兩個方程的公共解，從而得出原方程組的解.很多同學(xué)很不理解:一是很難十分準(zhǔn)確畫出圖像;二是即使圖像畫得準(zhǔn)確，交點坐標(biāo)也是難以確定的.而直接使用加減或代入消元法則簡單準(zhǔn)確，為什么書上要引進(jìn)圖像法解二元一次方程組呢？

3.拓展延伸環(huán)節(jié)提高了學(xué)生學(xué)習(xí)圖像法解方程的興趣，成為本節(jié)課的亮點，起到了畫龍點睛的作用.

筆者在課堂教學(xué)中安排了更為復(fù)雜的方程組，用目前代數(shù)知識直接求解，但是同學(xué)們也可以利用圖像法求解，特別是利用“幾何畫板”畫出對應(yīng)方程圖像后，方程組的解也可很快得到，這個過程實際上是一個“數(shù)”與“形”互譯的過程，即把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，以使抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達(dá)到問題的解決.大家體會到了圖像法的優(yōu)越性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)圖像法解方程組的興趣和信心.

反 思

1.充分感知，積累表象，表象具有直觀形象性和抽象概括性的雙重特征.

(1)聯(lián)系學(xué)生生活實際，利用學(xué)生已有的經(jīng)驗，動手操作.

(2)在教學(xué)中運用電化教學(xué)手段，也是幫助學(xué)生建立表象的有效途徑.

本節(jié)課內(nèi)容安排較多，學(xué)生感知還不到位，從而造成了一部分學(xué)生只知其然而不知其所以然.

2.語言參與，表象概括，引發(fā)抽象思維.語言是對表象進(jìn)行分析綜合形成概念的工具，是思維的物質(zhì)外殼.在課堂教學(xué)中應(yīng)充分地展開討論，并引導(dǎo)學(xué)生對一般性的規(guī)律進(jìn)行自主的總結(jié)和概括.

3.“數(shù)”與“形”的辯證統(tǒng)一關(guān)系，使得“數(shù)形結(jié)合”的觀點成為進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一個基本觀點.在教學(xué)實踐中，滲透數(shù)學(xué)思想是一項長期的、細(xì)致的工作，我們不可能憑借一兩次課或幾個例題的講解就使學(xué)生完全接受和掌握，也不能依靠生硬的說教，而應(yīng)當(dāng)結(jié)合學(xué)生的年齡特征，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容自然而然、潛移默化地進(jìn)行.因此，教師在日常教學(xué)中必須做一個有心人，善于利用反映數(shù)學(xué)思想的基本材料，有意識地設(shè)計與一定的數(shù)學(xué)思想相聯(lián)系的學(xué)習(xí)活動，以便達(dá)到“潤物細(xì)無聲”的效果.

【參考文獻(xiàn)】

［1］馬秀琴.初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究和應(yīng)用.科學(xué)教育，2009（7）.

［2］王少瑜.由“二元一次方程組的圖像解法”想到的.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2008（3）.