新課程背景下的數學證明教學

摘要 數學證明是中學數學教學中的一項重要內容，因而倍受重視。但在數學證明的教學實施中仍有若干問題反復出現。本文在闡述數學證明和數學證明教學的內涵的基礎上，探討了數學證明教學的實施過程，并分析了數學證明教學中應注意的問題。

關鍵詞 數學證明 數學證明教學 證明教學的實施

中圖分類號： G632文獻標識碼：A

Proved Teaching of Mathematics under the

Background of New Curriculum

LUO Lei

(Tengzhou Tengnan Middle School， Tengzhou， Shandong 277500)

AbstractMathematical proof is an important content in secondary school mathematics teaching， and thus highly valued. However， there are still a number of recurring problems in the implementation of the proved teaching of mathematics. This paper describes the mathematics proof and the content of mathematical proof， explores the implementation process of mathematics proof teaching， and analyzes the problems should pay attention to in the teaching of mathematical proof.

Key wordsmathematical proof; proved teaching of mathematics; the implementation of proved teaching

1 數學證明與數學證明教學的內涵

數學證明是應用已確定其真實性的命題來論證或推出某一命題的思維過程。雖然數學證明的內涵不等同于邏輯推理的內涵，但由于大多數情況下，數學證明往往是以推理的形式出現，因而它直接關系到學生推理論證能力與邏輯思維能力的培養。從認知心理學的觀點來看，可以將數學證明認為是學生將要證明的問題與認知結構中概念、命題聯系起來，從已知的條件、概念和命題出發，推導出新的命題。總的來說，數學證明主要解決存在與不存在、相交與不相交、平行與不平行、垂直與不垂直、相似與不相似、相等與不相等的問題。

數學證明教學是對于尋求、發現和做出證明的思維過程的教學，對學生的學習、邏輯思維能力與推理能力等諸多方面發展具有重要作用。斯托利亞爾曾說過“數學證明的教學是對于思維過程的教學”，他認為教證明首先意味著教邏輯推理，并將證明教學分為兩個基本水平：其一，證明中的推理規則呈現不明顯的形式，集中于“證明內容”和“證明方法”兩個問題；其二，學生會對證明作初步的分析，弄清楚邏輯結構和推理規則。在教學的目的方面，傳統上普遍關注的是學生邏輯思維能力的培養，而面向新世紀的全日制義務教育《數學課程標準》（實驗稿）中指出證明教學關注的主要是證明必要性、證明基本方法和證明過程，而不是所要證明的命題的數量和證明技巧。證明教學目的主要是促進學生理解數學證明方法、發展學生的邏輯思維能力和養成學生嚴謹思考問題的習慣。

2 數學證明教學的實施過程

美國的貝爾認為，學生學習數學要達到兩個目標，一是屬于知識范疇的，稱為數學教學的直接目標，即：要掌握數學的事實、概念、技能和原理；二是屬于能力范疇的，稱為數學教學的間接目標，即：要具備證明定理的能力、解決問題的能力、遷移知識的能力、掌握學習方法的能力、獨立探究的能力等。

當代著名認知心理學家安德森將知識劃分為陳述性知識和程序性知識兩種。其中，陳述性知識是由人們所知道的事實組成，以抽象和意象的形式表現出來，并可以用語言進行交流；程序性知識是由人們所知道的做事技能組成，以具象的形式表現出來，知識的具體內容很難用語言表達。因此，在這兩種知識中，陳述性知識是基于個人有意識的提取線索而能直接陳述的知識，程序性知識是基于個人沒有有意識的提取線索而是借助某種作業的形式間接推測。教學生學習數學證明，要首先教給學生基本的概念、原理等陳述性知識，然后再讓學生學會證明的具體步驟、方法、和思路等程序性知識。因此，在進行數學證明教學時，教師要注重傳授陳述性知識，首先要向學生講授證明所需要的概念、定理和法則，在學生準確理解和熟練掌握這些陳述性知識后，再轉入具體證明的教學，向學生傳授程序性知識。

在教學實踐中，教學生數學證明要從三個方面著手：“證明內容”、“證明方法”和“證明過程”。其中，“證明內容”是指所要證明的問題是什么，要明確認識與要證明的命題有關的定理的內容和條件；“證明方法”是指采取什么樣的方法才能推得要證明的命題，由哪些已知的命題可以推出要證明的命題或結論；“證明過程”是指如何從已知的前提條件和定理出發，推導出要證明的命題的步驟和順序。

學生在學習證明問題過程中會遇到兩個方面的問題：一是證明思路不清楚，表達也不清楚；二是證明思路清楚，卻表達不清楚。為此，要采取措施加以解決。其中，解決“證明思路不清楚的方法”是教師在總結教學內容的基礎上，講解常用的直接證法和間接證法的類型和模式，幫助學生對一些典型題目進行分類、比較，找出證明命題的類型、思路和方法，并在學生運用證明方法的過程中進行啟發、誘導和鼓勵。解決“證明思路清晰，但表達不清楚”需要教師的耐心鼓勵和理解，不能簡單粗暴地對待學生。另外，教師在教學時要充分考慮到他們的心理承受能力和所處的運算階段，引導學生由“具體運算”向“形式運算”過渡，增強學生進行數學形式論證的思維能力。

3 數學證明教學中應注意的問題

（1）數學推理證明的基本要求是：推理要合乎邏輯，證明要有說服力。要達到這一目標，在教學中應注意以下幾點：第一，注意推理證明通俗的教學。實踐證明，結合具體教學內容，通俗地講授一些必要的邏輯知識，有助于提高學生的論證能力。第二，注意推理證明規則的教學。為了達到推理合乎邏輯，證明具有說服力的目的，就應要求學生自覺遵守思維規律和邏輯規則。教學中隨時糾正學生違反推證規則的錯誤。第三，加強分析。證明教學就是分析命題中已知和未知的矛盾，分析矛盾的產生、矛盾的關系、矛盾的運動，從分析中找出解決的辦法。第四，認真練習。掌握推證方法是要有個過程的，養成良好的思維習慣也不是馬上就能達到的，這就需要加強練習。但練習不等于學習，有時候不一定導致學習，對于同一類型的證明題只需適量練習，掌握方法即可，切勿走入題海戰術的誤區。

（2）證明教學的重點應放在結論的推導中，而不應放在結論的證明上。證明教學應該注重對證明方法的理解、對證明過程的講授，而不應追求所證題目的數量以及證明技巧。為了發展學生對數學的理解，應鼓勵學生通過觀察、實驗、歸納、類比等方法探索規律，提出猜想，然后進行證明。

（3）證明教學應注意學生對于證明模式的積累。學生在完成一個復雜的證明題之后，能夠主動的反思，不但有助于加強對該題的理解，而且還可以與其它類似的題目進行比較、歸納、分類，有助于形成思維定勢。只有讓學生先形成一定的思維定勢，頭腦中儲存有一定的證明模式，才能在實際解題時應用模式，最后達到突破思維定勢的高度。

參考文獻

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