實矩陣相似標準型計算

摘要 本文研究了實矩陣的實相似的相關問題，并且證明了判斷實矩陣的實相似的充分必要條件。并著重介紹了實矩陣相似標準型計算。

關鍵詞 Jordan標準型 相似 初等因子 矩陣

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A

Calculation of Real Matrix Similar Canonical Form

SANG Dorjee

(Mathematics Department of Public Teaching， Ministry of Agriculture and

Animal Husbandry of Tibet University， Linzhi， Tibet 860000)

AbstractThis paper studies the related problems of real matrix， and proves the necessary and sufficient conditions for real similar of the real matrix. And highlights the calculation of real matrix similar similar canonical form.

Key wordsstandard; similar; primary factor; matrix

兩個相似的矩陣只是同一個線性變換在不同基的表達形式，在《高等代數與解析幾何》中只討論了復數域的最簡三角矩陣即：諾爾當矩陣。但在一般實數域中，矩陣相似的典范形要復雜的多，我們希望在一般實數域中也像復數域一樣找到一個典范形矩陣，本文就利用復數域上的相似標準形來推斷出實數域上的相似標準形以及判定定理。

判斷兩個矩陣相似時，有多種方法。可以利用相似定理。通過把矩陣化成正規形后算出不變因子組、初等因子組相同推出兩個矩陣相似。因此為了找出一個矩陣能夠相似于怎樣一個簡單形式的矩陣（稱為相似典范形）找到一個相對簡單的矩陣，使其初等因子組等于已給矩陣的初等因子。在《高等代數與解析幾何》中研究了復數域下的Jordan標準型，它的出現使判斷兩個復矩陣的相似變得非常簡單。然而在研究實數域上的標準型時能否也把Jordan標準型作為它在實數域上的標準型？本文對此進行了研究，并著重探討了僅有實特征值的實矩陣相似標準型計算，當實矩陣沒有實特征值的時候應該怎樣解決它的標準型？這個問題，將在文章《實矩陣實相似的判斷準則與標準型》進行詳細探討。

首先看兩個例子：

例1 的實數域上標準形

解：先求A的初等因子組：

因此A的初等因子組是 - 1， ( - 1)2，由此可知的諾爾當標準形為：

這時Jordan標準型就是復數域域上的標準形，它可作為實數域的標準典范型。

例2的實數域上標準型

解：先求它的初等因子：

所以初等因子組為： - 1，2 + 1

∵2 + 1在實數域上不能分解為一次多項式的方冪，所以就不能化成Jordan標準型。

分析：Jordan典范型是與復數域聯系在一起的，因為三角形矩陣的對角線元素就是它的特征值，特征值都是在復數域里的數，因而相應的特征多項式一定能分解成一次因子的乘積。從而此矩陣的初等因子都是一次多項式的方冪。所以矩陣A的特征值有復根，在實數域上不能分解為一次多項式的方冪，不能把Jordan典范型當作實矩陣在實數域上的矩陣相似典范型。這種情況下我們先研究第一種情況，即：若一個實矩陣，僅有實特征值，那么可用實相似把它化成Jordan標準型。分三步證明：（1）實矩陣只有實相似于一個上三角形。（2）上三角形矩陣相似于一個實的分塊對角矩陣。（3）分塊對角矩陣相似于Jordan塊。綜合三步由相似的傳遞性可知實矩陣相似于Jordan標準型。

（1）定理1：已知A∈Mn(R)有實特征值1、2、3……n它們按照任意的次序排成一列，那么存在一個酉矩陣U∈Mn(R)，使得U*AU = T = [tij]，其對角元是t ij = i，i = 1，2，3……n的上三角矩陣，即每個方陣A酉矩陣等價于其對角元依次是A的特征值的實三角矩陣。

證明：證明本身就是實施一系列相同形式的化簡算法得到化簡結果。設x(1)是A的相應于特征值1的正規化特征向量。非零向量x(1)可以擴充為Rn的一個基。

x(1)，y(2)，y(3)，……y(n)

應用Gran-Schmidt標準正交化于這個基，便得到的一個標準正交基。

x(1)，z(2)，z(3)，……z(n)

從左至右把這些標準正交向量排成酉矩陣U = (x(1)，z(2)，z(3)，……z(n))是列向量。

∵ AU1 = (Ax(1)，Az(2)，Az(3)，……Az(n))且Ax(1) = 1x(1)

∴ AU1 = (1x(1)，Az(2)，Az(3)，……Az(n))

∵U*U = I， ∴U*= U-1且U*AU = 。

對于U*（E - A）U = E - U*AU，所以A相似于U*AU。所以U*AU中有A的特征值。所以A1中有特征值2，3，……n且A1∈Mn-1(R)。

設x(2)∈Rn-1是A1的相應于2的正規化特征向量，然后完全重復上述步驟。確定一個酉矩陣U2∈Mn-1使得：

并設：，于是，矩陣V2和U1V2是酉矩陣，因而AU1V2有形式：

繼續做這種簡便到酉矩陣U1∈Mn-i+1 ，i = 1，……，n-1，和酉矩陣V1∈Mn， i = 2，……，n-1

矩陣：U = U1V2V3…Vn-1是酉矩陣，而U*AU給出了所要求的形式。并且是這樣的形式：

所以U*AU是相似于上三角形。【證畢】

（2） 定理2：若A∈Mn(R)有ni重實特征值i， i = 1，……k且i， ……，k是互不相同的實特征值，那么A相似于形如：

的矩陣，其中是所有對角元為i的上三角矩陣，i = 1，……k。

證明： 在定理1中我們已經證明了，實矩陣A相似于一個上三角形T = [tij]，并且假定在T的對角線上作了編排，使所有的項1都出現在前面，其次是項2，如此等等。接下來對T作一系列簡單的相似變換，以期得到對角線上方的各個0元，且不改變T的對角或者上三角結構。

設：En是Mn(R)中的在i，j位置是1，而其他位置都是0的矩陣且i＜j。注意，對i≠j和任一純量，顯然I + Eij≠0非奇異矩陣，并(I + Eij)-1 = I - Eij

所以我們知道 ：(I + Eij)-1T(I + Eij) = (I - Eij)T(I + Eij)。

根據矩陣乘法的性質可知：只改變T的第i行中位于第i列右邊的元素和T中第j列中位于第i行上方的元素。并且用tij = tij + (tii - tjj)

因此，如果tii ≠ tjj，得： = ，便可使i，j元為0，而對有關結構未作其它的變更。現在考慮T中一系列位置：

(n - 1， n);(n - 1， n - 1);(n - 2， n);(n - 3， n - 2);(n - 3， n - 1);(n - 3， n);(n - 4， n - 3)……

如果tii ≠ tjj，可以依次指定一種相似使這些位置的每個元素變為0。

注意到，這樣做不會影響已經變成0的元，所得到的矩陣將相似于實矩陣A。我們就得到了實矩陣A相似于一個分塊對角矩陣T。下面我們只要能證明這樣的分塊對角矩陣T實相似于Jordan標準型，那么相似傳遞性可知實矩陣A相似于Jordan標準型。【證畢】

在證明第三步之前先介紹一個引理：

（3）引理3：設是k≥1已知的，假設有Jordan塊：

那么：，且如果h≥k則Jk(0)h = 0。

Jk(0)ei+1，i = 1，2，……k - 1，且[I -(0)Jk(0)]x = (xTe1)e1，這里Ik-1∈Mk-1是單位矩陣，ei是第i個標準單位基向量，且x∈Rn。

定理4：設A∈Mk-1(R)是嚴格上三角矩陣。那么存在一個非奇異矩陣B∈Mn(R)和整數n1，n2，……nm其中n1≥n2≥n3≥nm≥1且n1 + n2 + n3 + ……nm = n使得

（Ⅰ）

證明：如果n = 1，A = [0]，結論是明顯的，對n作歸納法，且假定對階數小于n的所有嚴格上三角矩陣，結論已經證明，把A塊分成其中a∈Rn-1且A∈Mn-1是嚴格上三角矩陣，根據歸納假設，存在非奇異矩陣B1∈Mn-1使得A1B1有要求的形式（1）；

即：（Ⅱ）

其中：k1≥k2≥k3……ks≥1，k1 + k2 + k3 + ……ks = n - 1， ，且：，

注意到J中沒有一個對角Jordan塊的階數超過k1。所以，根據引理（Ⅰ），經簡單計算可知：

（Ⅲ）

使得分塊aTS1 = ()與

最右邊的分塊相一致。即，且，

可得到：

現在考察這個矩陣的下述相似矩陣：

（Ⅳ）

其中，用到了引理（3）中的恒等式 [I - (0)Jk(0)]x = (xTe1)e1，現在有兩種可能性，這取決于e1= 0還是e1≠ 0，那么：

注意：是一個具有零主對角線k1 + 1的階的Jordan塊，利用性質：，

容易證明：

然后遞歸地計算一系列相似的矩陣：

因為，可以看出，在這一系列相似的矩陣中最多經k1 步便可使非對角子塊變為零，因此得出，A相似于矩陣，它是嚴格上三角Jordan矩陣形式，如果 e1= 0有（Ⅳ）式可知，相似于矩陣。

而它又置換相似于矩陣（Ⅴ）

根據歸納假設，存在非奇異矩陣使得

是具有零主對角線的Jordan標準型式。因此，矩陣（Ⅴ）從而A本身相似于它就是所要求的Jordan標準形式，只是主對角Jordan塊可能不按非增的順序排列。經過三步證明，得到了一個實矩陣A，若有實的特征值，那么它相似于一個Jordan標準型。Jordan標準型就可以作為它的一個標準典范型。【證畢】