利用哈密頓-凱萊定理求解微分方程組的兩種方法

摘要微分方程組在很多實際問題中（尤其是工程技術方面）都有廣泛的應用，一些比較復雜的數(shù)學模型往往會導出多于一個微分方程的微分方程組，而且通過某些簡化的假設和適當?shù)淖儞Q，這種方程組又可化為一階線性微分方程組。

關鍵詞 Hamilton-Cayclay 定理基解 矩陣特征 多項式

中圖分類號：O17文獻標志碼：A

Two Ways for Hamilton-Cayclay to Solve Differential Equations

JU Li

(He'nan Finance and Taxation Vocational College， Zhengzhou， He'nan 450000)

AbstractDifferential equations are widely used in many practical problems (especially engineering techniques)， some of the complex mathematical models tend to export differential equations more than one differential equation， but also through some of the simplifying assumptions and the appropriate transformation， this equation can be turned into a first-order linear differential equations.

Key wordsHamilton-Cayclay; theorem-based solution; matrix characteristics; polynomial

本文考慮形如

（1）

的一階線性常微分方程組，其中已知函數(shù)(t) ( ， j = 1，2，…，n )在區(qū)間a≤t≤b上是連續(xù)的，方程組（1）關于x1，x2，…xn，及xi1，xi2，…xin是線性的。所以引進下面的記號

這里A（t）是n€譶矩陣，它的元是n2個函數(shù)(t) ( ， j = 1，2，…，n )。

這里f (t)， x1，xi是n€?矩陣或n維列向量。方程組（1）可以寫成xi = A(t)x + f (t)，而這里主要研究一階齊次線性微分方程組的解法，即f (t) = 0的時候xi = A(t)x。

而對一階齊次線性微分方程組一般的解法相對來說比較復雜，在計算過程中容易出錯，所以引入以下兩種解法。這兩種解法的原理是哈密頓·凱萊定理。

1 哈密頓·凱萊定理

定理1設A是數(shù)域P上一個n€譶矩陣，f () = |E - A|是A的特征多項式，則

f (A) = An - (a11 + a22 + … + ann) An-2 + … + (-1)n |A| = 0

2 二種求解方法

由于A的特征多項式為

f () ≡ det (E - A) ≡ n + cn-1 n-1 + c1 + c0

令A的特征值為1，2，…n，不必彼此互異。

方法1exp At = j+1 (t) Pj

其中P0 = E， Pj =(A - kE)， j = 1，2，3，…，n，并且r1(t)，r2(t)，…rn(t)為初值問題

，的解。

方法2構造純量函數(shù)Z(t)滿足方程Z(n) + Cn-1Z(n-1) +… + C1Z1 + C0Z = 0以及初值條件Z(0) = Z'(0) = … = Zn-2(0) = 0， Z(n-1) (0) = 1。

定義

則exp At = qj (t)Aj。

其中q0(t)，q1(t)，…qn-1(t)為列向量q0(t) = CZ(t)的n個元素。

3 兩種方法的比較及應用舉例

求解線性微分方程組的方法有很多。通常利用線性代數(shù)的理論求解，Jordan標準形的方法就是其中的一種，其理論較為簡潔，按實際操作起來可能比較麻煩。本文利用Hamilton-Cayclay定理以及文獻的結論，將基解矩陣的計算問題進行簡化，降低了求解方程組的難度，尤其是當對應的特征方程含有重根時，其效果更為突出。其中，方法一將基解矩陣的計算問題歸結為求解帶下三角形矩陣的齊次線性微分方程組的初值問題：

例1求解微分方程組的基解矩陣expAt

解方程組對應的特征方程為

det (A - E) == 2 - 2 + 2 = 0，解這個代數(shù)方程，可知矩陣A有特征根2 = 1 + 1， 2 = 1 - 1

求解初值問題

其中初始條件為r1(0) = 1，r1(0) = 0

解方程組得

由此可得基解矩陣

這種方法既回避了利用代數(shù)中空間分解理論所帶來的繁瑣計算過程，又不必去求系數(shù)矩陣的Jordan標準形，所得的新方程組可以直接利用一階方程的初等解法來求解，而這是我們所熟知的。

方法二更不必求解特征值，直接利用特征多項式的系數(shù)，便把方程組的求解問題，轉(zhuǎn)化為一個即階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解，其計算更加簡單：

例2矩陣，試求解初值問題x = Ax，e (0) = ，并求expAt.

解矩陣對應的特征方程為

det (A - E) == 2 - 6 + 9 = 0，所以對應的系數(shù)為c0 = 9， c1 = -6， c2 = 1，由此構造純量函數(shù)。

這是一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，用特征根法求得其通解為

z = a1e3t + a2te3t

其中a1，a2為相互獨立的任意常數(shù)。代入初值得z = te3t。由此構造矩陣

而q(t) = cz(t)，所以q (t) =

所求基解矩陣為

參考文獻

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