淺談泛函分析教學(xué)法

摘要本文主要討論了在泛函分析課程教學(xué)中如何有機(jī)地將學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、實(shí)變函數(shù)等知識(shí)結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力與邏輯思維能力。

關(guān)鍵詞 泛函 公理化方法 Banach空間 Hilbert空間

中圖分類號(hào)：G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Discussion about Functional Analysis Teaching

HUANG Sui

(Department of Mathematics， Chongqing Normal University， Chongqing 401331)

AbstractIn this paper， we discuss about how to contact content of functional analysis with mathematical analysis， advanced algebra， real function knowledge， developing students' abstract thinking ability and logical thinking ability.

Key wordsfunctional; axiomalization; Banach space; Hilbert space

泛函分析是應(yīng)上世紀(jì)量子力學(xué)等學(xué)科的需要發(fā)展起來的一門學(xué)科，迄今已經(jīng)建立了較為完善的理論體系，可以說泛函分析既集了經(jīng)典分析的大成，又架起了通往現(xiàn)代數(shù)學(xué)的橋梁，成為解決方程、控制論等其他數(shù)學(xué)問題的有力工具。泛函分析作為大學(xué)本科的一門課程，向數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生初步展示了數(shù)學(xué)既抽象又和諧的美。

泛函分析所講的泛函二字從字面意思來解釋就是更為廣泛的一類函數(shù)。它不再是我們?cè)跀?shù)學(xué)分析或復(fù)分析中所講的從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)到復(fù)數(shù)的函數(shù)，而是可以將任何集合中的點(diǎn)“變成”實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的映射。這樣的集合可以由函數(shù)構(gòu)成（例如連續(xù)函數(shù)空間、平方可積函數(shù)空間），也可以由序列構(gòu)成（例如有界數(shù)列、收斂數(shù)列等），因此有人說，泛函分析可以看成是函數(shù)空間上的函數(shù)論。這門課程是大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)叔叔所要學(xué)習(xí)的最為抽象的課程，不僅大量涉及到了數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)，也與高等代數(shù)等課程的知識(shí)有聯(lián)系，并且在一定程度上反映了空間的幾何性質(zhì)。那么如何在教學(xué)中將同學(xué)們所學(xué)的知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來應(yīng)用到泛函分析的學(xué)習(xí)中來？如何由淺入深、由易到難地進(jìn)行講解，培養(yǎng)學(xué)生的抽象邏輯思維能力、分析解決問題的能力？如何在教學(xué)中向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象、和諧的美，使其對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)理解提升到一個(gè)新的高度呢？這些都是我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該意識(shí)到并加以解決的問題。

泛函分析這門課程主要討論了Hilbert空間與Banach空間上算子與泛函的各種性質(zhì)。我們首先要在一般的集合上建立起各種各樣的結(jié)構(gòu)，例如拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、線性結(jié)構(gòu)，其中使用了大量公理化方法，將我們?cè)佻F(xiàn)實(shí)生活（一、二、三維空間）中兩點(diǎn)距離的性質(zhì)抽象出來定義到一般集合上形成度量空間。然后就象在數(shù)學(xué)分析中所做的一樣，在這樣的空間上利用“距離”定義空間中點(diǎn)的鄰域，點(diǎn)列的收斂、空間上的連續(xù)映射（即算子）等，從而研究空間的分析性質(zhì)，例如空間是否完備化，如果不完備，如何利用類似實(shí)數(shù)完備化的方法將其完備化。同理我們可以在空間上附加線性結(jié)構(gòu)成為線性空間。接著將距離這一概念抽象成范數(shù)，得到泛函分析中討論最多的賦范線性空間。因此在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)?shù)貙?shù)學(xué)分析關(guān)于距離、數(shù)列的收斂、函數(shù)的連續(xù)性等知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，并與泛函分析中的定義作相應(yīng)的比較，一次向?qū)W生展示泛函分析所研究空間的廣泛性。

Hilbert空間的性質(zhì)及其上算子、泛函的討論是泛函分析研究的主要內(nèi)容之一。首先我們以學(xué)生熟悉的歐氏空間威力討論其具有的性質(zhì)，例如歐式空間上的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，其上的變換與矩陣成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系等。由此如果將內(nèi)積的性質(zhì)公理化，以此定義出一般的內(nèi)積空間；將歐氏空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基進(jìn)行合理推廣，得到一般內(nèi)積空間上的規(guī)范正交系。這樣我們就得到Hilbert空間的規(guī)范正交系，其作用類似于歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此可以看出，Hilbert空間是有限維歐氏空間最自然的一種推廣。Hilbert空間的幾何性質(zhì)是教學(xué)中一個(gè)非常有趣的內(nèi)容。我們知道點(diǎn)到線段或直線的距離是點(diǎn)到線的垂線段的長(zhǎng)度，那么如何將這個(gè)幾何性質(zhì)反映到Hilbert空間上，并用抽象的數(shù)學(xué)語言表述出來呢？這就是極小化向量定理及其一系列推論，其中Hilbert空間的正交分解尤為重要。Hilbert空間上的算、泛函的性質(zhì)有時(shí)怎樣的呢？我們可以利用歐氏空間上的矩陣與之類比。

Banach空間是將Hilbert空間中對(duì)內(nèi)積的要求去掉，剩下范數(shù)以后得到的完備賦范空間，這是更大更抽象的一類空間。Banach空間仍具有線性結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，那么其上的算子、泛函的性質(zhì)是怎樣的呢？Banach空間上有三個(gè)重要定理回答了一個(gè)問題。這三個(gè)定理是：Hahn-Banach延拓定理、共鳴定理和閉圖像定理。首先Hahn-Banach延拓定理處理的是線性空間上的泛函問題，它要說明的是如果空間上的泛函足夠多，就可以用泛函來區(qū)別空間中任意不同的兩點(diǎn)，更進(jìn)一步，得到分離性定理。其次共鳴定理或一致有界定理的本質(zhì)是由算子列的逐點(diǎn)有界性得到一致有界性。這與數(shù)學(xué)（下轉(zhuǎn)第71頁）（上接第60頁）分析中函數(shù)列的逐點(diǎn)有界但未必一致有界是相悖的，因此在教學(xué)中要進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?duì)比。

在泛函分析的教學(xué)過程中，對(duì)定理證明的分析尤為重要。如何將定理的條件與結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來，找到聯(lián)系兩者的紐帶，然后找到證明的入口。對(duì)例題的講解也應(yīng)注意同樣的問題，教材中的舉例往往都是非常經(jīng)典的問題，例如如何證明一個(gè)賦范線性空間的完備性，雖然具有一定技巧，但是其方法都是學(xué)生在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)中使用過的一些方法，因此要讓學(xué)生作適當(dāng)練習(xí)，理解掌握這些基本方法。對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過程中，因此應(yīng)從多方面出發(fā)，難易結(jié)合，抽象與直觀聯(lián)系，不僅促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展，而且也能使其感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿馈?/p>

基金項(xiàng)目：重慶師范大學(xué)博士啟動(dòng)基金(No.10XLB041)

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