淺談數(shù)列教學(xué)在生活中的應(yīng)用

摘要數(shù)列只是數(shù)學(xué)知識(shí)海洋中的一朵小浪花，卻是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型。文章以分期付款和銀行儲(chǔ)蓄為例分析了數(shù)列知識(shí)在日常生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 數(shù)列 生活 應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

On Application of Series Teaching in Life

TENG Jiulin

(The Comprehensive Educational Research Group of the Foundation Teaching Section，

Dongguan Senior Technical School， Dongguan， Guangdong 523112)

AbstractSeries just mathematics in the ocean of knowledge waves， a small but important in daily economic life mathematical model. Based on the installment and bank savings as an example， analyzed the sequence in the application of knowledge of daily life.

Key wordsseries; life; application

等差、等比數(shù)列只是數(shù)學(xué)知識(shí)海洋中的一朵小浪花，卻是日常經(jīng)濟(jì)生活中的重要數(shù)學(xué)模型，文章以分期付款和銀行存款儲(chǔ)蓄為例談?wù)勅粘Ｉ钪械臄?shù)列問題。

1 單利與復(fù)利計(jì)算方式與數(shù)列

在分期付款和銀行存款儲(chǔ)蓄中，數(shù)列主要是用于利息的計(jì)算，根據(jù)單利與復(fù)利的不同，建立等差數(shù)列或者等比數(shù)列的模型。在單利計(jì)算中，若本金為a元，每期利率為p，利息與本息和可按期數(shù)排成數(shù)列：第一期末：利息a€譸，本息和a€?1+p)；第二期末：利息a€?p，本息和a€?1+2p)；第三期末：利息a€?p，本息和a€?1+3p)；……第n期末：利息a€譶p，本息和a€?1+np)。由此可知，在單利的計(jì)算中，利息與本息和都是公差為ap的等差數(shù)列。

在復(fù)利的計(jì)算中，假設(shè)本金為a元，每期利率為p，利息與本息和可按期數(shù)排成數(shù)列：第一期末：利息a€譸，本息和a€?1+p)；第二期末：利息a€?1+p)€譸，本息和a€?1+p)2；第三期末：利息a€?1+p)2€譸，本息和a€?1+p)3；……第n期末：利息a€?1+p)n-1€譸，本息和a€?1+p)n。由此可知，在復(fù)利的計(jì)算中，利息與本息和都是公比為（1+p）的等比數(shù)列。

2 數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用

分期付款是數(shù)列在生活中應(yīng)用的一種模型，解決問題的關(guān)鍵是分清單利、復(fù)利問題，即是等差數(shù)列模型還是等比數(shù)列模型問題。例如某人年初向銀行貸款10萬元買房，選擇10年期償還，償還貸款的方式是：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年的年初開始?xì)w還，若10年期貸款的年利率是4%，且每年的利息均按復(fù)利計(jì)算，問每年應(yīng)還多少元？

分析：該例是等比數(shù)列的應(yīng)用，建立等比數(shù)列的模型要抓?。?0萬元?dú)v經(jīng)10年的本息和=某人10次還款的本息總和這一等量關(guān)系。

解：設(shè)每年還款x元，則第1次還款的x元到貸款全部還清時(shí)的本息和是x(1+4%)9元，第2次還款的x元到貸款全部還清時(shí)的本息和是x(1+4%)8元，第3次還款的x元到貸款全部還清時(shí)的本息和是x(1+4%)7元，……第10次還款的x元到貸款全部還清時(shí)的本息和是x元（無利息）。另一方面：10萬元在10年貸款期全部還清時(shí)的本息之和是105·(1+4%)10

故有：x(1+4%)9+ x(1+4%)8+ x(1+4%)7+……+ x(1+4%)+ x =105·(1+4%)10

由等比數(shù)列的求和公式得：105€?.0410= x (1.0410-1)/(1.04-1)

解得x≈12330（元）

上例談的是分期付款中被絕大多數(shù)人采用的等額本息還款法，即是將一次計(jì)算出來的本金與本金在借款期限內(nèi)產(chǎn)生的利息之和，平均分配到各還款期，由此得到每次等額的還款數(shù)額。還有一種是等額本金還款法，即每次所還的本金相同，但利息不同，這不同的利息怎么計(jì)算呢？

依然以上面貸款10萬元分10年還清為例，每年還一次，并從借后次年的年初開始?xì)w還，10年期貸款的年利率是4%，不同的是采用等額本金還款方式，那么每年應(yīng)還款多少元呢？還款總額又是多少？

分析：依據(jù)題意和等額本金計(jì)算公式，此人每年還款金額 = （貸款本金/還款年數(shù)）+（本金-已歸還本金累計(jì)額）€酌磕昀剩磕曖溝謀窘鷂?0/10=1（萬元）。

解：第一年應(yīng)還總額為10/10+10€?%=1.4（萬元）

第二年應(yīng)還總額為10/10+（10-1）€?%=1.36（萬元）

第三年應(yīng)還總額為10/10+（10-2）€?%=1.32（萬元）

同理，可計(jì)算得第四年的還款額為1.28萬元，第五年為1.24萬元，第六年為1.2萬元，第七年為1.16萬元，第八年為1.12萬元，第九年為1.08萬元，第十年為1.04萬元，十年總計(jì)還款總額為12.2萬元。

通過對等額本息還款法與等額本金還款法的計(jì)算與分析可知，在生活中若我們會(huì)使用數(shù)列的知識(shí)，在同樣的利率、貸款額度、還款次數(shù)情況下，就能準(zhǔn)確計(jì)算各種（下轉(zhuǎn)第35頁）（上接第19頁）還款方式的不同結(jié)果?？偟膩碚f，等額本金還款法比等額本息還款法要節(jié)約資金，所還的利息要少些，但是在還款的初期，等額本金還款法比等額本息還款法還款額度高，帶來的經(jīng)濟(jì)壓力要大些。但就資金的時(shí)間效益而言，等額本息還款法由于每次還款額固定，隨著時(shí)間的推移，價(jià)值穩(wěn)步下降。對于選擇投資的人來說，等額本息還款法是很好的選擇，既能緩解初期的資金壓力，又能體現(xiàn)資金的時(shí)間價(jià)值；對于購房自住的有穩(wěn)定收入的家庭來說，等額本金還款法則更適宜。

3 數(shù)列在銀行存款儲(chǔ)蓄中的應(yīng)用

銀行存款儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)分活期儲(chǔ)蓄和定期儲(chǔ)蓄，活期儲(chǔ)蓄是指不確定存期，隨時(shí)可以存取款且存取金額不限的一種儲(chǔ)蓄方式。定期儲(chǔ)蓄是在存款時(shí)約定存期，一次或按期分次存入本金，整筆或分期、分次支取本金或利息的一種儲(chǔ)蓄方式。定期儲(chǔ)蓄可分為以下幾種類型：整存整取、零存整取、整存零取、存本取息、定活兩便和通知存款，其存取方式因類型不同而有區(qū)別。 實(shí)際生活用的最多的是活期儲(chǔ)蓄、整存整取、零存整取方式。銀行存款儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)都按單利計(jì)算利息。

在活期儲(chǔ)蓄中，每月按30天，每年按360天，以具體天數(shù)計(jì)算利息，計(jì)單利。例如王某以活期儲(chǔ)蓄形式存入銀行5000元，年利率為3%，存期為5個(gè)月，則王某所得利息計(jì)算公式為：本金€啄昀蕗狀嫫諤焓齹?60，利息計(jì)62.5元，本息和為5062.5元。

整存整取是指約定存期，整筆存入，到期一次支取本息的一種儲(chǔ)蓄，利息計(jì)算方式與活期儲(chǔ)蓄相似，在約定存期到期后利息計(jì)算方式為本金€自級(jí)昀蕗自級(jí)ㄔ率齹?2個(gè)月。

零存整取與活期儲(chǔ)蓄和整存整取業(yè)務(wù)不同，它不是一次性存入，而是在按期分次存入本金，到期一次支取本息。該業(yè)務(wù)中每期存入間隔時(shí)間相同、金額相同的款項(xiàng)成為年金，利息依然是以單利計(jì)算。例如某人計(jì)劃每月一日存入銀行1000元，若年利率為2%，一年后他本息共計(jì)多少元？在不清楚銀行零存整取計(jì)算公式的情況下，可用數(shù)列知識(shí)計(jì)算此人到期時(shí)的本息和。第一次存入的1000元到期時(shí)的利息為1000€?%;第二次存入的1000元到期時(shí)的利息為1000€?%€?1€?2；第三次存入的1000元到期時(shí)的利息為1000€?%€?0€?2……第十二次存入的1000元到期時(shí)的利息為1000€?%€?€?2，由此可知該數(shù)列是一個(gè)公差為1000€?%€?2的等差數(shù)列，由數(shù)列和公式可以很快得知利息和為130元，加上本金12000元，本息合計(jì)12130元。該種計(jì)算方式與銀行提供的利息計(jì)算方式：利息＝月存金額€桌奐圃祿齹自呂剩奐圃祿劍ù嬡氪問?）€?€狀嬡氪問?，紦鋺C隼吹慕峁嗤?。需要注意的薁楷灾o導(dǎo)噬鈧辛憒嬲±⒏堇實(shí)牡髡?，每圃煁茈日普娡租傉取出日圃懩不同，利息会有微小抵\浠?

通過對銀行三種常用儲(chǔ)蓄方式的計(jì)算與分析，數(shù)列知識(shí)能幫助我們清楚地辨別在同等情況下使用哪種儲(chǔ)蓄方式收益更高，能幫助我們確定最佳的理財(cái)方式。數(shù)列在生活的應(yīng)用絕不限于銀行儲(chǔ)蓄、分期付款、貸款幾方面，在保險(xiǎn)、租賃貿(mào)易、企業(yè)優(yōu)化方案的設(shè)計(jì)等方面也不可或缺。

參考文獻(xiàn)

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[2]黃富.研究性學(xué)習(xí)課題:數(shù)列在分期付款中的應(yīng)用——分期付款中還款方式的選擇[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2005(7).