常微分方程課程的習題課教學探索

摘要常微分方程是數學與應用數學專業的一門重要基礎課，它在培養學生分析問題和解決問題的能力方面發揮著極其重要的作用。本文探討了常微分方程課程的習題課教學的重要性，研究了常微分方程課程的習題課教學方式，提出了未來繼續改革的方向。

關鍵詞 常微分方程 習題課 教學方式

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A

Teaching Discussing on Exercise Lesson of Ordinary Differential Equation

ZHU Junhui， CHEN Chunrui

(Dept. of Applied Mathematics and Physics， Zhengzhou Institute

of Aviation Industry Management， Zhengzhou， He'nan 450015)

AbstractOrdinary differential equation is a core curriculum of applied mathematics. It plays an important role in fostering ability to analyse and solve the problem. The importance on teaching of exercise lesson of ordinary differential equation is discussed. Teaching methods for exercise lesson of ordinary differential equation is researched. An outlook about teaching of exercise lesson of ordinary differential equation in the future is given.

Key wordsordinary differential equation；exercise lesson；teaching discussing

常微分方程是自然科學和社會科學中精確表述基本定律和各種問題的根本工具之一，只要根據實際背景列出微分方程，并能數值地或定性地求出方程的解，人們就能預見事物的變化情況。于是，常微分方程成為人們認識、改造自然和社會的有力工具，也是數學聯系實際的主要途徑之一。常微分方程是數學與應用數學專業的一門重要基礎課，它在培養學生分析問題和解決問題的能力，特別是在提高學生的應用能力方面具有天然的優勢，并發揮著極其重要的作用。

為了提高教育教學質量，培養能力強、素質高的應用型創新型人才，滿足社會對人才的要求，必須大力加強常微分方程課程的教學改革。常微分方程既是數學與應用數學專業的一門學科基礎課，又是與生產實踐有密切聯系的課程之一。如何在常微分方程教學中把理論與實踐緊密結合起來，培養學生的實踐能力和創新精神，就顯得非常重要。而要使學生掌握常微分方程課程的基本理論和基本技能，其習題課教學是不可或缺的重要一環。

1 常微分方程課程的習題課教學的重要性

著名數學家陳希孺院士在《高等數理統計學》一書的序中寫道：“多做習題，尤其是多做難題，對掌握并熟練數理統計學基本的論證方法和技巧，有著不可替代的重要性。如果通過一門基礎課的學習，只是記住了若干概念，背了幾個定理，而未能在這方面有所長進，那真是‘入寶山而空返’了。同時，經驗表明，在打基礎的階段因忽視習題而導致素質上的缺陷，在日后不易彌補，或事倍功半。” 陳先生的這段話雖然是針對數理統計學課程而言的，但對于所有的數學基礎課程具有普遍的意義。

在教材中和課堂上學生學到了很多概念、定理、公式，但它們的意義何在，優點和局限性何在，如何使用，與其他內容的關系如何，要通過做習題去鞏固、探索和加深理解。教材由于篇幅和課時所限，往往只能作一種粗線條式的講述，許多相關的知識、反例、補充、正文中未盡之處以至較近的發展等，好的教材的編寫者往往是通過精心設計的習題來加以組織和反映的。因此，理解各部分知識間的聯系，解決問題的思路，數學思維的培養，書面表達能力的訓練，在很大程度上是通過做題的過程來完成的。因此，必須高度重視常微分方程課程的習題課教

學。

2 常微分方程課程的習題課教學的方式方法探討

為了不斷提升習題課教學質量，針對習題課教學中存在的問題，筆者在教學實踐中對習題課教學的方式方法進行

了研究。

2.1 講評作業

在習題課教學中教師應了解學生在知識理解、方法運用等方面的不足，歸納學生不同的思路和各種解法。通過講評，給予作業中有錯誤的學生必要的及時的校正，不僅要指出錯在哪里，更重要的是要引導學生分析產生錯誤的原因，使學生避免犯類似錯誤；作業中無錯誤的同學也可借鑒別人的解題方法。所以，講評具有很大的交流性，有及時補缺、示范的作用。

2.2 選取典型例題

在習題課教學中，教師要根據教學目標和學生實際情況，精選具有典型性、針對性的例題。如在一階微分方程的初等解法習題課上選取如下例題。

求解方程：ydx + (y - x)dy = 0。

解：這里M = y，N = y - x， ，，方程不是全微分方程。

方法一 求出積分因子 = y-2，以積分因子 （下轉第110頁）（上接第83頁）乘以方程的兩端得， + dy = 0

故通解為 + ln|y| = c，其中c為任意常數。

方法二 方程改寫為，ydx - xdy = -ydy

如果學生熟記了下面幾個二元函數的全微分

該題就迎刃而解了。

方法三 原方程可化為 =

這是齊次微分方程，通過變量變換可化為變量可分離方程，從而可得方程的解。

方法四 把x看作未知函數，y看作自變量，方程可化為線性微分方程 = x - 1

可利用常數變易法可以求解。

通過類似的典型例題，不但可以幫助學生把學過的知識融會貫通起來，而且讓學生舉一反三，培養學生的機智和靈活性。

2.3 組織討論

課堂教學效果的好壞在很大程度上決定于學生參與的程度，學生參與程度高，課堂教學效果就好，反之，則差。在習題課教學中，如果采用傳統的老師講、學生聽的方式，學生就只是被動地接受知識，這樣學生就不容易掌握，就算當時聽懂了，也印象不深刻，過一段時間又會忘記，要想使學生比較容易地掌握知識，而且印象深刻，不容易忘記，筆者認為最好的方法是讓學生進行討論。因為不同學生思考問題的方位、角度不一樣，對同一問題的理解也不一定相同，通過討論，學生與學生之間可以取長補短，共同提高。當然，必須使學生的討論具有目的性、方向性，不能讓學生陷入盲目探索狀態。否則，學生學不到系統的知識，同時也會大大降低課堂教學的效率。因此，在學生討論之前，教師應課前設計好問題，讓學生圍繞教師提出的問題進行討論。

2.4 總結提高

現以一階微分方程的初等解法為例來說明。比如以方程類型為出發點，理清變量可分離方程、齊次微分方程、線性微分方程、伯努利方程、恰當微分方程之間的相互聯系；另一方面，引導學生以分離變量法、常數變易法、變量變換法、積分因子法為線索，總結它們的特點，特別是弄清每種方法能求解的方程類型。于是，學生既把要求解得方程類型搞清楚了，又掌握了解決問題的工具的特點，輔以適量的練習，就會到達事半功倍的效果。通過對一階微分方程初等解法的總結，讓學生熟悉各種類型微分方程的解法，正確而快速的判斷一個給定微分方程的類型，進而選擇快速的方法求解。同時，讓學生注意解題技巧，從中總結經驗，培養自己的靈活性，如能較快捷的

通過變量變換非典型方程轉化為典型方程。

3 未來繼續改革的方向

3.1 習題課教學要進一步發揮學生的主體作用

建構主義認知心理學理論認為，學生的學習是學生主體基于已有的知識和經驗由學生自己主動、積極建構的過程。這種建構不可由他人替代，學習者不是外部刺激的被動接受者和被灌輸的對象，而是在主體與環境的交互作用中不斷重構、發展和深化主體的理解和知識。教師不應是知識的傳遞者與灌輸者，而應作為學生自主探究、合作交流、反思提高的指導者與促進者。因此，教師必須尊重和發展學生的主體性，把課堂還給學生，把時間還給學生，使學生積極主動、有效地參與教學的全過程。

3.2 習題課教學要滲透啟發式教學

在學生學習的關鍵環節或遇到困難時，教師逐步引導，調動并發揮學生的學習主動性、自覺性，激發起積極性思維，培養分析問題和解決問題的能力，使學生在教師的啟發和誘導下，自己尋找規律，并有新的發現和創新。在教學中，知識的學習不再是唯一的目的，而是手段，注重的是知識的發現和創新的過程，引導學生去“經歷”這樣的思維過程，讓學生通過積極的思維過程去發現真理，掌握規律，訓練思維，提升能力。

參考文獻

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