矩陣的對(duì)角化與Fibonacci數(shù)列

摘要對(duì)角化矩陣不僅與線性變換有著密切關(guān)系，而且在數(shù)學(xué)及其他科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。本文全面詳細(xì)地給出了矩陣對(duì)角化的判定定理，著重介紹了矩陣的對(duì)角化在研究Fibonacci 數(shù)列中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 矩陣 對(duì)角化 Fibonacci 數(shù)列

中圖分類號(hào)：O17文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Matrix Diagonalization and Fibonacci Sequence

ZHANG Yan， KOU Bingyu

(Mathematics and Science Department of Science School， the People's Liberation

Army University of Science and Engineering， Nanjing， Jiangsu 211101)

AbstractThe diagonalization matrix not only has close relationship with linear transformation， and it was widely applied in mathematics and other science and technology domain. This paper introduces decision theorem in details， introduces application of diagonalization of matrix in Fibonacci sequence.

Key wordsmatrix; diagonalization; Fibonacci; sequence

1 矩陣對(duì)角化定義及判定定理

定義設(shè)A是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P-1AP = diag(1，2，…，n)，則稱A可對(duì)角化(或稱A與對(duì)角矩陣相似)。

定理1設(shè)A是n階矩陣，A可以對(duì)角化

A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

A的最小多項(xiàng)式無(wú)重根。

A的不變因子無(wú)重根。

A的初等因子全為1次的。

A的每個(gè)重特征根所對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)=特征根的重?cái)?shù)。

r (E - A) = n - k，其中k為A的任意特征根的重?cái)?shù)。

r (E - A) = r(E - A)2，其中k為A的任一特征根。

A的任意特征根i，(iE - A)與(iE - A)2的值域相等或它們的核相等。

推論若n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角矩陣相似。

定理2設(shè)1，2，…，t是A的全部互異的特征根，(i = 1，2，…，t)為(iE - A)X = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則A可對(duì)角化

s1 + s2 + … +st

dim= n，其中是i的特征子空間，i = 1，2，…，t

定理3設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A必可對(duì)角化，且存在正交矩陣T使得

T'AT = T-1AT = diag(1，2，…，n)

其中diag1，2，…，n是A的特征根。

定理4設(shè)A() = |E - A| = …，(i = 1，2，…s)則A相似于對(duì)角陣特征子空間與的核空間的維數(shù)相等。

證：設(shè)是n維空間V的線性變換，在基1，2，…，n下的矩陣為A，則

因?yàn)閮蓛苫ニ兀?/p>

從而

因此，A相似于對(duì)角陣維數(shù) = 維數(shù)Vi。證畢。

2 矩陣對(duì)角化的應(yīng)用

將一個(gè)矩陣化為對(duì)角矩陣，不但可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且在理論和應(yīng)用方面有十分重要的意義，例如，其在求方陣的高次冪、利用特征值求行列式的值、由特征值與特征向量反求矩陣、判斷矩陣是否相似等方面有著相當(dāng)重要的應(yīng)用，關(guān)于以上方面的應(yīng)用可參考[1]與[2]。

下面主要來(lái)介紹矩陣對(duì)角化在Fibonacci（斐波那契)兔子繁殖問(wèn)題中的應(yīng)用。

1202年，意大利數(shù)學(xué)家Fibonacci出版了他的《算盤(pán)全書(shū)》，他在書(shū)中提出了一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題：

（1）假定一個(gè)月大小的一對(duì)兔子（雄和雌的），對(duì)于繁殖還太年輕，但兩個(gè)月大小的兔子便足夠成。又假定從第二個(gè)月開(kāi)始，每一個(gè)月它們都繁殖一對(duì)新的兔子（雄和雌的）。

（2）如果每一對(duì)兔子的繁殖都按上面說(shuō)的同樣的方式，并假定中途沒(méi)有兔子死去。試問(wèn)：從開(kāi)始起，每個(gè)月有多少對(duì)兔子呢？

如此推算下去，我們發(fā)現(xiàn)：（見(jiàn)表1）

由此可知，從第一個(gè)月開(kāi)始以后每個(gè)月的兔子總是：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…

若把上述數(shù)列繼續(xù)下去，得到的數(shù)列就是著名的Fibonacci數(shù)列。

Fibonacci數(shù)列有著廣泛應(yīng)用，例如：

（1）植物的葉、枝、莖等排列中存在Fibonacci數(shù)。例如，圖1的植物稱為薊，其頭部具有13條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和21條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋，它們是Fibonacci數(shù)列中相鄰的數(shù)字，這樣的螺旋稱為Fibonacci螺旋。以Fibonacci螺旋形式排列的種子、花瓣或葉子的植物很多。圖2就是我們經(jīng)常食用的菜花，具有5條順時(shí)針旋轉(zhuǎn)和8條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋。圖3是具有Fibonacci螺旋的松果。

（2）上樓方式。有一段樓梯有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階有幾種不同的走法？這就是一個(gè)斐波那契數(shù)列：登上第一級(jí)臺(tái)階有一種登法；登上兩級(jí)臺(tái)階，有兩種登法；登上三級(jí)臺(tái)階，有三種登法；登上四級(jí)臺(tái)階，有五種登法……

1，2，3，5，8，13……

所以，登上十級(jí)，有89種走法。

對(duì)于Fibonacci數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…，在我們學(xué)習(xí)的過(guò)程中，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式一般是直接給出表達(dá)式，只是讓我們證明通項(xiàng)公式成立，有的讀者自然會(huì)問(wèn)，這個(gè)公式是如何發(fā)現(xiàn)的呢？

下面利用矩陣特征值、對(duì)角化工具來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，并求 。

如果設(shè)F(n)為該數(shù)列的第n項(xiàng)(n∈N+)。該數(shù)列的遞推關(guān)系為F(n + 2) = F(n + 1) + F(n)， n = 0，1，2，…(1)

初始條件為F(0) = 0，F(xiàn)(1) =1。令

(2)

取，則(2)變?yōu)镕n+1 = AFn (3)

由(3)得Fn = AnF0 (4)

于是，要求Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式，只要計(jì)算An，我們利用A可對(duì)角化來(lái)計(jì)算An。

A的特征多項(xiàng)式為|E - A| = 2 -- 1，它的兩個(gè)根1 = ， 2= 是A的特征值。因此，可以對(duì)角化。解齊次線性方程組

得到它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

同理可得的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

令則 于是

(5)

從(4)及初始條件得

(6)

比較(6)兩邊的第2個(gè)分量得

這就是Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式。我們驚奇地發(fā)現(xiàn)

這意味著Fibonacci數(shù)列相鄰項(xiàng)的比例極限是完美的黃金分割。

3 結(jié)束語(yǔ)

矩陣的對(duì)角化問(wèn)題在高等代數(shù)中扮演著很重要的角色，對(duì)角矩陣作為一類特殊的矩陣，具有很重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1]北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研代數(shù)小組編.高等代數(shù).北京:高等教育出版社，1998.

[2]李啟文，謝季堅(jiān)編.線性代數(shù)理論與解題方法.長(zhǎng)沙:湖南大學(xué)出版社，2001.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)(第四版).高等教育出版社，2003.

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