微積分發展史

摘要 由于函數概念的產生和運用的加深，也由于科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之后產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數學中的最大的一個創造。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支還是牛頓和萊布尼茨。

關鍵詞 解析幾何 建立 牛頓 萊布尼茲 發展史

中圖分類號：O712文獻標識碼：A

Calculus Development History

LI Qiong

(East China Institute of Technology Xingzhi Branch， Fuzhou， Jiangxi 344000)

AbstractAs the deepening of the function of the generation and the use of the concept，but also because the development of science and technology， a new branch of mathematics are producing after the analytic geometry. This is the calculus. Calculus 's position in the development of mathematics is very important， you can say that it is one of the greatest creation in mathematics after Euclidean geometry. Throughout the 17th century， dozens of scientists had done pioneering research for the creation of calculus， but who madethe calculus as an important branch of mathematics are Newton and Leibniz.

Key wordsAnalytic Geometry; establish; Newton Leibnitz; development history

如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。 從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，數學進入了“變量數學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立做了開創性的研究。

1 微積分的萌芽

微積分是微分學和積分學的統稱，它的萌芽、發生與發展經歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法，這是微積分的先驅。積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，古希臘數學家要基米德在《拋物線求積法》中用究竭法求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是 “ 有限 ” 開工的窮竭法。但阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽。

2 解析幾何為微積分的創立奠定了基礎

由于16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學技術的發展開創了美好前景。 到了17世紀，有許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述問題做了大量的研究工作。

微分是聯系到對曲線作切線的問題和函數的極大值、極小值問題而產生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅工作起源于 1629 年費爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。

其后笛卡爾1637年發表了《科學中的正確運用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數形式，而且可以通過代數變換來發現幾何性質，證明幾何性質。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數與未知數之間的關系，表示變量與變量之間的關系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應關系。此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長度的量之間不可相加減的束縛。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數量之間的關系，使得幾何與代數在數量上統一了起來。笛卡爾就這樣把相互對立著的“數”與“形”統一起來，從而實現了數學史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數學的廣闊空間。

而英國劍橋大學三一學院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產生。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀下半葉各自獨立創立了微積分。

3 牛頓建立微積分

牛頓（Isaac Newton 1643-1727）在老師巴羅的指導下，在鉆研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路?？梢园讶我鈺r刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的準確值。這就是微分的概念。

微分相當于求時間和路程關系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當于求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。

微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為“流數術”。

4 萊布尼茨使微積分更加簡潔和準確

而德國數學家萊布尼茨（G.W. Leibniz 1646-1716）則是從幾何方面獨立發現了微積分，在牛頓和萊布尼茨之前至少有數十位數學家研究過，他們為微積分的誕生做了開創性貢獻。但是他們這些工作是零碎的，不連貫的，缺乏統一性。萊布尼茨創立微積分的途徑與方法與牛頓是不同的。萊布尼茨是經過研究曲線的切線和曲線包圍的面積，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則的。牛頓在微積分的應用上更多地結合了運動學，造詣較萊布尼茨高一等，但萊布尼茨的表達形式采用數學符號卻又遠遠優于牛頓一籌，既簡潔又準確地揭示出微積分的實質，強有力地促進了高等數學的發展。

萊布尼茨創造的微積分符號，正像印度——阿拉伯數碼促進了算術與代數發展一樣，促進了微積分學的發展。萊布尼茨是數學史上最杰出的符號創造者之一。

5 牛頓和萊布尼茨的爭論

牛頓和萊布尼茨的特殊功績在于，他們站在更高的角度，分析和綜合了前人的工作，將前人解決各種具體問題的特殊技巧，統一為兩類普通的算法——微分與積分，并發現了微分和積分互為逆運算，建立了所謂的微積分基本定理（現今稱為牛頓―萊布尼茨公式），從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，并為其深入發展和廣泛應用鋪平了道路。由于受當時歷史條件的限制，牛頓和萊布尼茨建立的微積分的理論基礎還不十分牢靠，有些概念比較模糊，因此引發了長期關于微積分的邏輯基礎的爭論和探討。經過18、19世紀一大批數學家的努力，特別是在法國數學家柯西首先成功地建立了極限理論之后，以極限的觀點定義了微積分的基本概念，并簡潔而嚴格地證明了微積分基本定理即牛頓―萊布尼茨公式，才給微積分建立了一個基本嚴格的完整體系。

從始創微積分的時間說牛頓比萊布尼茨大約早10年，但從正式公開發表的時間說牛頓卻比萊布尼茨要晚。牛頓系統論述“流數術”的重要著作《流數術和無窮極數》是1671年寫成的，但因1676年倫敦大火殃及印刷廠，致使該書1736年才發表，這比萊布尼茨的論文要晚半個世紀。在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落后了一百年。

雖然如此，科學家對待科學謹慎和刻苦的精神還是值得我們學習的。 應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。

6 中國古代數學對微積分創立的貢獻

微積分的產生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家一直追朔到古希臘的阿基米德都做出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限?。ㄗ钚o內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創的割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。

微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數術”開創了對高階等差級數求和的研究。 南宋大數學家秦九韶于1274年撰寫了劃時代巨著《數書九章》十八卷，創舉世聞名的“大衍求一術”增乘開方法解任意次數字（高次）方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數學的高峰，出現了現通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數術”（一次同余式組解法）、“垛積術”（高階等差級數求和）、“招差術”（高次差內差法）、“天元術”（數字高次方程一般解法）、“四元術”（四元高次方程組解法）、勾股數學、弧矢割圓術、組合數學、計算技術改革和珠算等都是在世界數學史上有重要地位的杰出成果，中國古代數學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創立的關鍵。中國已具備了17世紀發明微積分前夕的全部內在條件，已經接近了微積分的大門?？上е袊院螅斯扇∈恐圃斐闪藢W術上的大倒退，封建統治的文化專制和盲目排外致使包括數學在內的科學日漸衰落，在微積分創立的最關鍵一步落伍了。

7 微積分的現實應用

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變量的概念后，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。

微積分是與實際應用聯系著發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學等多個分支中有越來越廣泛的應用。特別是計算機的發明更有助于這些應用的不斷發展。

參考文獻

[1][美]卡爾·B·波耶.微積分概念發展史.復旦大學出版社.

[2]龔升，林立軍.簡明微積分發展史.湖南教育出版社.