變式教學(xué)在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

摘要在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，既要求學(xué)生做大量的題目，以期學(xué)生達(dá)到熟能生巧；又要求充分展示學(xué)生的思維過程，發(fā)現(xiàn)其中的問題。兩者似乎是很難兼顧。注重變式教學(xué)，不僅有利于改變學(xué)生只愿做題，不善于思考、總結(jié)、變通的習(xí)慣，還能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和復(fù)習(xí)效率。

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Application of Changing Teaching in Senior Mathematics Review

HE Haili

(Yongning High School， Nanning， Guangxi 530200)

AbstractIn mathematics review， students are required to do a lot of questions because practice makes perfect. Andthey're also requested to demonstrate the thinking process of students and found out the problems. It seems very difficult to balance the two. Focus on changing teaching， can help students change thehabit of only willing to do， not good at thinking， summary， modifications， but also improve students' interest and review efficiency.

Key wordschanging teaching; mathematics; review

所謂變式教學(xué)，就是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不斷地變更數(shù)學(xué)問題中的非本質(zhì)特征，變換問題中的條件或結(jié)論，轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，配置各種實(shí)際應(yīng)用的環(huán)境等，以期暴露問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)設(shè)計(jì)方法。具體地說，就是對概念、性質(zhì)、定理、公式以及數(shù)學(xué)問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式，使一題多解、一題多變、一法多題。變式教學(xué)有助于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)變能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，開發(fā)學(xué)生智力，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

在數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課教學(xué)中，變式教學(xué)一般表現(xiàn)為三種形式：一為解題的變式，即“一題多解”；一為題型的變式，即“一題多變”；一是方法的變式，即“一法多題”。

1 一題多解

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)說過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。一題多解的能力體現(xiàn)了學(xué)生對所學(xué)知識加以融會(huì)貫通的能力，體現(xiàn)了解題能力的強(qiáng)弱，是一種培養(yǎng)創(chuàng)新能力的重要思維方法。因此，一題多解應(yīng)當(dāng)成為我們掌握數(shù)學(xué)知識和探索數(shù)學(xué)思維規(guī)律的重要手段。

例1：橢圓 += 1的焦點(diǎn)是F1、F2，橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2。下面結(jié)論正確的是（）

（A）P點(diǎn)有兩個(gè)；（B）P點(diǎn)有四個(gè)；

（C）P點(diǎn)不一定存在；（D）P點(diǎn)一定不存在

分析一：由兩條連線垂直聯(lián)想到圓的性質(zhì)。

解法一：以F1F2為直徑畫圓，可知圓的半徑r = c = 3＜4 = b，即圓與橢圓不可能有交點(diǎn)。故選D。

分析二：利用橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式求解

解法二：由題知，()max = €讄F1F2|b = 12，而在橢圓中，= b2tan = 16，12＞16不可能成立，故選D。

分析三：利用∠F1PF2的最大值。

解法三：由題意知當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處時(shí)∠F1PF2最大，設(shè)∠F1PF2 = 2， ∵tan = ＜1，∴＜，此時(shí)∠F1PF2 為銳角，與題設(shè)矛盾。故選D。

分析四：利用橢圓參數(shù)方程，根據(jù)兩條直線垂直，向量的數(shù)量積為0。

解法四：設(shè)P(5cos，4sin)，由得PF1⊥PF2，得 = 0，又由 = (- 3 - 5cos， - 4sin)(3 - 5cos， - 4sin) = 25cos2 - 9 + 16sin2 = 0 得cos2 = -，這不可能成立，故選D。

分析五：利用橢圓參數(shù)方程，根據(jù)橢圓第一定義，結(jié)合三角函數(shù)化一公式求解。

解法五：設(shè)∠PF1F2 = ，由PF1⊥PF2，得|PF1| + |PF2| = 6cos + 6sin = 6sin( + )≤6，而|PF1| + |PF2| = 2a = 10即：10≤6，不可能。故選D。

分析六：利用橢圓焦半徑公式。

解法六：設(shè)P(x0，y0)由焦半徑得：

|PF1| = a + ex0 = 5 + x0， |PF2|= a - ex0 = 5 - x0 ，

∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2 + |PF2|2 = |F1F2 |2 ∴(5 + x0)2 + (5 - x0 )2 = 62

∴x02 = -7， 這是不可能的，故選D。

在教學(xué)中教師應(yīng)積極地引導(dǎo)學(xué)生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣既可發(fā)現(xiàn)學(xué)生解題的思維過程，又能使學(xué)生思路開闊，熟練掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)思維的靈活性。在習(xí)題變式教學(xué)時(shí)，要根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，有選擇性地進(jìn)行“一題多解”，切忌隨意性和盲目性。

2 一題多變

一題多變是在原題基礎(chǔ)上進(jìn)行變通推廣，適當(dāng)改變條件或結(jié)論，使學(xué)生隨時(shí)根據(jù)變化情況積極思索，想出解決問題的辦法。一題多變能提高學(xué)生觸類旁通，舉一反三的能力，能開拓學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識。

例2：已知f (x)對于任意實(shí)數(shù)x，y滿足f (x+ y) = f (x) + f (y)， 當(dāng)x＞0時(shí)f (x)＜0。

（1）求證f (x) = -f (-x)；（2）判斷f (x)的單調(diào)性。

解：（1）令x = y = 0得f (0) = f (0) + f (0)，∴f (0) = 0

令y = -x，得 f (0) = f (x) + f (-x) = 0，∴f (x) = f (-x)

（2）設(shè)，x1＜x2 ，f (x2) = f [x1+ (x2 + x1)] = f (x1) + f (x2 - x1)＜ f (x1)，∴ f (x)在R上是單調(diào)減函數(shù)。

變式1已知函數(shù) f (x)在(0， + ∞)上是增函數(shù)，且滿足f () = f (x) - f (y)。

（1）求f (1)的值：(2)若f (6) = 1，解不等式f (x+ 5) - f ()＜2。

解 ：（1）令x = y = 1，得f (1) = f (1) - f (1)，∴ f (1) = f (1)

（2） 在f () =f (x) - f (y)中，令x = 1，y = 6得

f () = -f (6) = -1 ∴f (36) = f (6) - f () = 2

原不等式可化為f [x(x + 5)]＜f (36)，且f (x)是(0， + ∞)上的增函數(shù)

∴原不等式等價(jià)于x(x + 5) ＜ (36)，∴- 9＜x＜4

又∵x＞0，x + 5＞0解得0＜x＜4，∴原不等式的解集為（0，4）

變式2已知函數(shù)f (x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線x = 1對稱。(1)求f (0)的值；(2)證明函數(shù)f (x)是周期函數(shù)；(3)若f (x) = x(0＜x≤1)，求x∈R時(shí)函數(shù)的解析式。

思路點(diǎn)撥：f (x)的圖像關(guān)于x = 1對稱f (x) = f (2 - x)

解：（1）∵f (x)是R上的奇函數(shù)，∴f (-x) = -f (x)，令x = 0得f (0) = - f (0)，∴f (0) = 0。

（2）證明：∵f (x)是R上的奇函數(shù)，∴f (-x) = -f (x)①

又f (x)的圖象關(guān)于直線x = 1對稱，∴f (x) = f (2 - x)②

由①②得-f (-x) = f (2 - x)，換-x為x，則f (2 + x) = f (x)

∴f (4 + x) f [2 + (2 + x)] = -f (2 + x) = - [-f (x)] = f (x)

故f (x)是以4為周期的周期函數(shù)。

（3）

著名教育家葉圣陶說過：“教師之為教，不在全盤授與，而在相機(jī)誘導(dǎo)”。德國教育家第斯多惠說：“教學(xué)的藝術(shù)不在傳授本領(lǐng)，而在于喚醒、激勵(lì)、鼓舞”。在變式教學(xué)中，教師不但做學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，還要成為學(xué)生學(xué)習(xí)的激勵(lì)者，通過教師的鼓勵(lì)，學(xué)生也展示了他們的變式習(xí)題。

變式3（學(xué)生甲）：函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镈 = {x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f (x1·x2) = f (x1) + f (x2)。（1）求f (x1)的值；（2）判斷f (x)的奇偶性。

解：（1）令x1 =x2 = 1，有f (1 €?1)= f (1) + f (1)，解得f (1) = 0

（2）令x1 =x2 = - 1，有f ((-1)€?-1)) = f (-1) + f (-1)，解得f (-1) = 0 ， 令x1 = 1，x2 = x有f (-x) = f (-1) + f (x)。

∴f (-x) = f (x)，∴f (x)為偶函數(shù)。

變式4（學(xué)生乙）：定義在R上的函數(shù)y= f (x)， f (0)≠0，當(dāng)x＞0 時(shí)，f (x)＞1，且對任意a，b∈R的有f (a + b) = f (a)·f (b)。（1）求f (0)的值；（2）證明：對任意x∈R恒有f (x)＞0。

解：（1）令a = b = 0，則f (0) = f 2 (0)，又f (0≠)0，∴f (0) = 1

（2）當(dāng)x＜0時(shí) - x＞0，∴f (0) = f (x)·f (-x) = 1

∴f (-x) = ＞0 ，∴ x＜0時(shí)f (x)＞0，又x≥0時(shí)f (x)≥1＞0，∴x∈R時(shí)，恒有f (x)＞0

選擇習(xí)題進(jìn)行變式練習(xí)，不要“變”得過于簡單，過于簡單的變式是“重復(fù)勞動(dòng)”，影響學(xué)生思維的質(zhì)量；難度“變”的過大，容易挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生難以獲得成功的喜悅。長此以往，將使學(xué)生喪失自信心，所以選題變式時(shí)層次要分明，使優(yōu)、中、差的學(xué)生各有所得，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。同時(shí)，在習(xí)題變式教學(xué)中，不能變成教師的“表演秀”，避免教師“變”，學(xué)生“練”。教師要讓學(xué)生主動(dòng)參與，要鼓勵(lì)學(xué)生大膽地“變”，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)探索問題和解決問題的能力。

3 一法多題

許多學(xué)生雖然做題量很大，但成績進(jìn)步不明顯。經(jīng)過分析，其中的一個(gè)重要原因是不善于總結(jié)解題方法和規(guī)律。因此，教師采用“一法多題”進(jìn)行教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)、摸索、總結(jié)解題方法和規(guī)律，從而達(dá)到“做一道題會(huì)一類題”，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理和演繹推理能力。

例3（09全國卷Ⅰ理）已知橢圓C:+ y2 = 1的右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A∈l，直線AF交橢圓C于點(diǎn)B，若，則=（）

(A)(B)2

(C)(D) 3

解析：如圖，過點(diǎn)B作BM⊥l于M，并設(shè)右準(zhǔn)線與X軸的交點(diǎn)為N，易知|FN| = 1。由題意，故|BM| = 。又由橢圓的第二定義得|BF| = · = 。∴|AF| =故選A。

例4（2010全國卷2理數(shù)）已知拋物線C:y2 = 2px準(zhǔn)線為l，過M(1，0)且斜率為的直線l與相交于點(diǎn)A，與的一個(gè)交點(diǎn)為B若，則p = _____

分析：利用拋物線的定義來解題。

解析：過B作BE垂直于l準(zhǔn)線于E，∵，∴M為中點(diǎn)，∴|BM| = |AB|，又斜率為，∠BAE = 30€啊鄚BE| = |AB|，∴|BM| = |BE|，∴M為拋物線的焦點(diǎn)，∴p = 2

例5（2010江蘇卷）雙曲線 -= 1上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是______

解析：設(shè)d為點(diǎn)M到右準(zhǔn)線x = 1的距（下轉(zhuǎn)第187頁）（上接第169頁）離，求得d = 2，由雙曲線的第二定義得 ， ∴|MF| = 4

以上三道例題都體現(xiàn)了“定義法”在解圓錐曲線中的優(yōu)越性。在解決涉及焦半徑、焦準(zhǔn)距等有關(guān)問題時(shí)，靈活運(yùn)用圓錐曲線的第一或第二定義，往往能使解題過程簡潔明快、事半功倍。在教學(xué)過程中，教師就是要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題方法和規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生一法解多題的能力。

變式教學(xué)是一種提高高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)效率的有效途徑，在復(fù)習(xí)課中用好變式教學(xué)能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有利于學(xué)生思維能力和解決問題能力的提高，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文