數形結合法解代數題

摘要數形結合是重要的數學思想之一，它把數量的精準與圖形的直觀有機地結合在一起，既用代數解幾何問題又用幾何解代數問題才是數形結合的真諦。

中圖分類號：O15 文獻標識碼：A

The Combination Method for Solving Algebra Problems

ZHOU Wenxue， MA Haijun

(Zhengzhou Technical College， Zhengzhou， He'nan 450121)

AbstractThe Combination is one of the most important mathematics ideas. It combines precise of the number and organic of graphics together， use algebra to solve geometric problems and algebraic geometry to solve problems is the essence of combination.

Key wordsmathematics ideas; combination; algebra problems

數與形是數學中兩個最古老、最基本的元素，是數學大廈深處的兩塊基石，所有的數學問題都是圍繞數和形的提煉、演變、發展而展開的：每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系又常常可以通過圖形的直觀性作出形象的描述。因此，在解決數學問題時，常常根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，將數的問題利用形來觀察，提示其幾何意義；而形的問題也常借助數去思考，分析其代數含義，如此將數量關系和空間形式巧妙地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法，簡言之，就是把數學問題中的數量關系和空間形式相結合起來加以考察的處理數學問題的方法，稱之為數形結合的思想方法。

數形結合是一個數學思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。正如大數學家華羅庚所說：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數缺形時少直觀，形少數時難入微。屬性結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，且莫分離。”

本文主要研究“以形助數”的幾個問題：不等式問題、最值問題、與方程的根有關的問題。

1 不等式問題

例1、 已知a＞0，b＞0，c＞0，求證 ++≥(a + b+ c)。

解：如圖1所示，一個邊長為（a + b+ c）的正方形被與邊平行的直線分成9部分，顯然有AB = ， BC = ， CD = ， AD =(a + b+ c)，由兩點之間線段最短得到AB + BC + CD ≥ AD，即 ++≥(a + b+ c)。

另解：

例2、已知a＞0，b＞0，c＞0，

求證 +≥ 。

解：觀察發現與余弦定理形式相似，構造圖形

OA = a，OB = b，OC = c ，∠AOB = ∠BOC = 60€埃捎嘞葉ɡ砜梢鄖蟪?

AB = ， BC = ， CA = ， AB + BC ≥CA，即 +≥

例3、解不等式- 2 ≤- ≤2

解：先把不等式轉化為| - |≤2，再化為| - |≤2

構造雙曲線F1(1，0)，F2(5，0)，2a = 2其方程為 -= 1，當y = 3時，x = 1或x = 5。如圖3在雙曲線上的點到F1，F2的距離之差等于2，在雙曲線外部的點到F1，F2的距離之差小于2，線段AB上的點既滿足條件到F1，F2的距離之差不大于2，又在直線Y = 3上，當且僅當1≤x≤5時不等式成立。不等式的解集為[1，5]。

以上幾類不等式問題若用代數法解決過程會比較繁瑣，運算量較大，不如幾何圖形直觀、簡潔。一般地，不等式中含有二次根式的可以考慮轉化為兩點之間的距離（向量的模），通過幾何法解決。

2 最值問題

例4、已知- 2 ≤ a ≤ 2，b≠0求(a - )2 + (b - )2的最小值。

解：觀察發現與兩點之間距離的平方形式很像，構造

P1(a，)，P2(，b)，則P1P2 = ，P1在圓x2 + y2 = 2上，P2在雙曲線y = 上，顯然P1(1，1)，P2(2，2)或P1(-1，-1)，P2(-2，-2)時，P1P2 = 是最小值，求得[(a - )2 + (b - )2]min = 2

例5、求y = 的最值

解：觀察發現與兩點所確定的直線的斜率形式很像，構造M(25cosx，25sinx)，N(-52，39)，

kMN === - y，點M在圓x2 + y2 = 625上，過點N作圓的切線NA，NB，kON == - ，NA2 + OA2 = NO2，可以求出NA = 60，tan ∠ANO = ，進一步求出，，

kMN = -y∈( - ， - )，ymin = ，ymax = 。

以上幾類求最值問題若用代數法解決，難以找到合適的思路，若對問題賦予幾何解釋，構造相應的幾何圖形，并運用“形”的性質求解，則可能找到巧妙之法。一般地，函數式中含有根式（平方）的可以考慮轉化為兩點之間的距離，含有比值的轉化為斜率。

3 與方程的根有關的問題

例6、方程 log2x = sin(3x)的實數解的個數是多少？

解：因為對任意x的都有-1≤sin(3x)≤1，所以只需考慮滿足-1≤ log2x≤1的x，解得≤x≤32。

先考慮≤x＜1，-1≤ log2x＜0，當＜x＜時，-1≤sin(3x)＜0，如圖6所示函數y =log2x與函數y =sin(3x) 有2個交點；再考慮1＜x≤32，0＜ log2x≤1，當1＜x≤1+時，如圖6所示函數y =log2x與函數y =sin(3x) 有2個交點；當1 + k＜x≤1+ + k(k = 1，2，3，…，45)時，如圖6所示函數y =log2x與函數y =sin(3x)有2個交點；當31＜x≤32時 ，sin(3x)≤0，如圖6所示函數y =log2x與函數y =sin(3x)無交點；當x= 1時，如圖6所示函數y =log2x與函數y =sin(3x)有1個交點。總之，所有交點個數為2 + 2 + 2€?5 + 1 = 95。

例7、已知方程|x2 - 4x + 3| = m有4個根，求實數m的取值范圍。

解：此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數，而求方程的根的個數問題可以轉化為求兩條曲線的交點的個數問題來解決。

方程|x2 - 4x + 3| = m根的個數問題就是函數y = |x2 - 4x + 3| 與函數y = m圖象的交點的個數。作出拋物線y = x2 - 4x + 3的圖象，將x軸下方的圖象沿x軸翻折上去，得到y = |x2 - 4x + 3| 的圖象，再作直線y = m，如圖7所示：由圖象可以看出，當0＜m＜1時，兩函數圖象有4交點，故m的取值范圍是（0，1）。數形結合可用于解決方程的解的問題，準確合理地作出滿足題意的圖象是解決這類問題的前提。

以上幾例數形結合解代數題的方法是最常用的幾種，只有把握住“結合” 這一數形結合法的核心，才能把在由數到形這一變換過程中圖形選擇的多樣性，變成解題的靈活性和創造性，在實際學習中要結合具體問題具體分析，掌握共性。例如要畫的若是函數圖象，要設法讓函數盡可能少含參變量（最好不含參變量），如果一定要含有，也要設法讓它在較低次的函數（如一次函數）或在簡單函數中含有。只有這樣，才能從一個新的層面上去理解、掌握、運用好數形結合法。

參考文獻

[1]傅榮強.函數.龍門書局，2008.1.

[2]張景中.數學解題策略.科學出版社，2009.8.

[3]王鳳麗.高考·奧賽全程對接.高二數學.機械工業出版社，2006.12.

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