可分離變量的微分方程的應用舉例

摘要高等數學有著廣泛的應用領域，本文中筆者將高等數學課程中的微分方程理論與實際相結合，通過建立數學模型來解決實際問題，以增加學生學習新知識的興趣，從而提高課堂授課效果。

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A

Application Examples of Differential Equations with Variables Separable

KOU Bingyu， MAO Lei， ZHANG Yan

（Applied Mathematics Institute， School of Mathematics and Physics，

PLA University of Science and Technology，Nanjing， Jiangsu 211101)

AbstractThe knowledge of the advanced mathematics is widely used in many fields.In this paper，the author will apply the theory which is about the differential equations with variables separable to solving a practical problem by establishing the mathematical model.It is helpful to improve the students' interest of learning new information，and it is also helpful to improve the teaching effectiveness.

Key wordsdifferential equations with variables separable; the method of separation of variables;mathematical model; solving the practical problems

對于微分方程，德國偉大的業余數學家萊布尼茲早在1686年就已經從數學的角度進行研究。近幾十年來，微分方程伴隨著相關領域的專業知識被廣泛地應用。“使用數學的語言將實際問題形成一個明確的數學問題(數學模型)，使用數學的方法解決它”的方式是數學教學中以培養創新思維、應用能力為出發點的素質教育的客觀要求。我們就結合具體的實例將微分方程理論與實際應用統一起來，通過問題環境來建立實際問題的數學模型，進而利用數學的理論知識去解決實際問題。

1 實際問題的提出

飛機在下降滑跑時，其尾部張開一幅降落傘，提出問題——這個降落傘有何作用？從而引起學生的學習興趣。進一步解釋，結合實際問題進行與數學知識的聯系——當機場跑道長度不足時，常常使用降落傘作為飛機的減速裝置。對于這個減速傘，它的設計原理是什么呢？在飛機接觸跑道開始著陸時，飛機尾部張開一幅減速傘，利用空氣對傘的阻力減少飛機的滑跑距離，保障飛機在較短的跑道上安全著陸。對此，我們可以將這一實際問題抽象成一般的數學問題來對飛機減速傘的設計與應用加以研究。

問題的提出：將阻力系數為4.5€?06kg/h的減速傘裝備在9T的飛機上?，F已知機場跑道長1500m，若飛機著陸速度為每小時700km，并忽略飛機所受的其它外力。問跑道長度能否保障飛機安全著陸？

2 數學模型的建立

對于這個實際問題，我們可以先對飛機滑跑的運動狀態進行分析，根據牛頓第二定律有F = ma，其中F是飛機滑跑時所受到的合力。根據問題環境可知，飛機在滑跑過程中只受到減速傘所帶來的阻力。因此結合物理學知識，若從飛機接觸跑道時開始計時，飛機的滑跑距離為x (t)，飛機的速度為v (t)，則F可以表示成- kv(t)，其中k為阻力系數，m是飛機的質量，a是飛機滑跑時的加速度。結合我們所熟悉的導數的知識，則，這樣便可建立運動方程m = - kv(t)。再來分析問題環境，要判斷跑道長度能否保障飛機安全著陸即是判斷飛機的滑跑距離x (t)是否小于1500m，因此，要解決這一實際問題，還需求出飛機的滑跑距離x (t)。又由于 = v (t)，以及飛機在剛接觸跑道的時刻(即)時滑跑距離為0，滑跑速度為每小時700km，因此要解決這一實際問題也就是求解下面兩個帶有初始條件的微分方程和。這樣，我們就為這一實際問題建立了數學模型。

3 實際問題的求解

下面我們就來利用高等數學的知識來解決這一實際的問題。通過觀察，顯然這是兩個帶有初始條件的可分離變量非微分方程的求解問題，因此我們采用分離變量法首先求出方程的通解，再根據初始條件進一步求出滿足這兩個方程的滿足條件的特解。

問題的解決：經過前面的分析，我們已經建立微分方程

m = - kv(t)

按照分離變量法求解如下：

① 當v (t)≠0，分離變量有 = - dt；

兩邊同時求不定積分有：

∫ = ∫- dt，即v (t) = ce- t (c≠0)。（下轉第103頁）（上接第90頁）

②當v (t) = 0是特解。

所以，微分方程的通解為v (t) = ce- t ，c為任意常數。又因為v (0) = v0，可求出c = v0。從而微分方程的解為：v (t) = ce- t 。

再來討論飛機的滑跑距離，經過分析，我們建立微分方程

= v (t)

由前面所求，可知 = v0e- t。它是可分離變量的微分方程，可以用分離變量法求解。

分離變量有：dx = v0e- t dt；

兩邊同時積分有x (t) =e- t + c。因為x (0) = 0，可求出c = ，從而x (t) =(1 - e- t )。因此飛機的滑跑距離x (t)≤，代入已知數據有x (t)≤1400m≤1500m。

所以，飛機能安全著陸。

這樣，我們就對飛機減速傘問題進行了分析和計算，解決了實際中的問題。這是在考慮飛機只受到減速傘所帶來阻力的情況下所得到的結果，而在實際飛行中，飛機還受到地面的摩擦力，在這種情況下，結果又怎樣？

問題的拓展：若飛機除受到減速傘的阻力之外，還受到跑道的恒定摩擦力f的影響，在這種問題環境下，我們來分析飛機滑跑速度v (t)以及滑跑距離x (t)的表達式。

通過前面的分析類似，要解決這一實際問題也就是求解下面兩個帶有初始條件的微分方程和。這樣，我們就為這一實際問題建立了數學模型。

按照分離變量法求解m = - kv(t) - f得通解v (t) =e- t - ，c為任意常數。由初始條件v (0) = v0，可求出c = kv0 + f。從而v (t) = (v0 + ) e- t - 。又由于 = v (t)，解得x (t) = -(v0 + ) e- t - t + c。因為x (0) = 0，可求出c = (v0 + )，從而x (t) =(v0 + ) (1 - e- t) - t≤(v0 + )

本文通過實際的問題，將高等數學知識靈活應用進而去解決現實中的問題，從而培養學生在實際生活和生產實踐中應用數學知識分析和解決實際問題的能力的理念，進而提高學生應用數學意識和創造性思維的方法與能力，同時還培養了學生學習知識的興趣，提高了教學效果。

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