微分方程的應用

摘要微分方程是數學理論解決實際問題的重要渠道之一，科學與工程中的許多現象內在規律都需要用微分方程描述。大多數學生對具體的實際問題，他們不能夠準確的列微分方程，關鍵在于沒有確定的理論依據作指導或者說不會抓關鍵的字眼提煉問題的實質。本文對微積分方程的應用進行了探討。

中圖分類號：O175 文獻標識碼：A

Application of Differential Equations

FENG Xingqiang

(Pingshan Guyue High School， Pingshan， Hebei 050403)

AbstractDifferential equations is one important channel to solve practical problems in the mathematical theory . We also need differential equations to describe the inherent laws and phenomena in science and engineering. Most of the students can not accurately carry out differential equations on specific practical problems， the key problem is that they cannot determine the theoretical basis as a guide or they can not grasp the key words to extract essence of the problem. This article discusses the application of differential equations.

Key wordsdifferential equation; fluid mixing problem; method

微分方程在自然科學和技術科學的各個領域中有著廣泛的應用，與實際有密切的聯系，在用微分方程解決實際問題時，為建立微分方程，不僅依賴于數學知識，還需要掌握一定的物理、力學、經濟學、生物學的知識。微分方程是一種解決實際問題的數學工具。微分方程的中心問題是解“解方程”。然而，隨著計算機的快速發展，解微分方程不再有多大的困難。怎樣根據實際情況列出微分方程，很多同學感到無從下手。以下就在物理方面、幾何方面、流體混合問題以及其它方面列方程淺談一些想法。

1 物理方面

1.1 動力學

動力學的基本定理是牛頓（Newton）第二定律f = ma，這也是微分方程來解決動力學的基本關系。它的右端明顯地含有加速度a。a是位移對時間的二階導數，列出微分方程的關系就在于找到外力f和位移及其對時間的導數——速度的關系。只要找到這個關系，就可以由f = ma列出微分方程。

例1（落體問題）物體由高空下落，除受重力作用外，還受到空氣阻力的作用，在速度不太大的情況下（小于音速的4/5），空氣阻力可看作與速度的平方成正比。試證明在這種情況下，落體存在極限速度v1。

解：設物體質量為m，空氣阻力系數為k，又設在時刻t物體的下落速度為v，于是在時刻t物體所受的力f = mg - kv2。因而，根據牛頓第二定律可列出微分方程m = mg- kv2①。因為是自由落體，所以有v(0) = 0②。由①與②兩式可得 == dt ，積分Ln = t，解得。當時t→+∞，有v == v1

據測定，k = s ，其中為與物體形狀有關的常數；為介質密度；S為物體在地面上的投影面積。據v == v1，來為跳傘者設計保證安全的降落傘的直徑大小的。在落地速度v1，m，與一定時，可定出s來。

假設跳傘員前的阻尼系數為k1，開傘后的阻尼系數為k2，（設k1＞＞k2）

跳傘員以及傘的重量為m0，若忽略跳傘遠的水平速度，設從開始跳傘到開傘的時間為T，由上題結果可計算出開傘前的速度為，在開傘后跳傘遠所受的合力為F = mg - k2v2，由牛頓第二定律得mmg - k2v2(v＞0)，即。

從而由積分可以得到通解

①其中，

而c為大于零的常數，由v(0) = v0可得

如果落地安全速度為v1，由①可計算得到從開傘到地面的時間T1，設開傘到地面的高度為H0，則，由此可得特級跳傘時開傘的最低高度。

2 幾何方面

在幾何方面的應用主要是利用曲線y = y(x)的切線率y'(x)，法線斜率- ，曲率，弧微分三角形關系dl2 = (dx)2 + (dy)2等來描述一些曲線或圖形的幾何特性。

例2設經過點p1(-c，0)的任一條光線經一曲線反射，則反射光線必經過點p2(c，0)，求該曲線方程。

解：題設條件等價于曲線y = y(x)上任一點p(x，y)處的法線的平分角∠p1pp2，而點p(x，y)處的法線方程為Y - y = - (X - x)，該直線與X軸的交點橫坐標為x + yy'，從而依角分線定理。得曲線所滿足的微分方程，令X = (x - c)2 + y，Y = (x+ c)2 + y2，則方程化簡為 = - ，解得 =+ 2A，即(x2 - a2)x2 - a2y2 = a2(c2 - a2)。

注：當c2＜a2時，曲線為橢圓；當c2＜a2時，曲線為雙曲線（反射光線所在直線過點(c，0)）；當c2 =a2時，曲線退化為X軸。

3 流體混合問題

有含物體A的流體，設時刻t = 0時，流體體積為V0。物質的質量為x0（濃度當然也就知道了）。今以速度v2（單位時間的流量）放出流體，而同時又以速度v1注入濃度為c1的流體，試求時刻t時，容器中物質A的質量及流體的濃度，此類問題稱為流體混合問題。

用微分方法求解：設在時刻t，容器內物質A的質量為x = x(t)，濃度為c2，經過時間dt后，容器內物質A的質量增加dx。于是，有關系式dx = c1v1dt - c2v2dt = (c1v1 - c2v2)dt，因為c2 = 代入上式有①這是一個線性方程，求物質A在t時刻的質量問題就歸結為求方程①滿足初始條件x(0) = x0的解的問題。

例3某廠房容積為45€?5 €?6m3，經測定，空氣中含有0.2%的co2開動通風設備。以360m3/s的速度輸入含有0.05%的co2新鮮空氣，同時又排出同等數量的室內空氣，問30min后室內co2所含的百分比。

解：設在時刻t，車間內co2的百分比為x(t)%，當時間經過dt之后，室內co2的改變量為45€?6€?€譫x% = 360€?.05%€譫t - 360€讀%€譫t，于是有關系式4050dx = 360(0.05 - x)或 = (0.05 - x)，初始條件為x(0) = 0.2，將方程分離變量并積分，初值滿足求出x，有x = 0.05 + 0.15e - t，以t= 30min = 1800s代入得x = 0.05%即開動通風設備30min后，室內的co2含量接近0.05%，基本上已是新鮮空氣了。

4 其他方面

例4 技術革新推廣模型：設社會上有N個工廠老板，一項技術革新在他們中推廣，假設采用這項技術的老板人數的增長與已采用和未采用者人數的乘積成正比，試研究這項技術的推廣情況。

解：設在t時間采用新技術的老板數為P = p(t)，此時未采用者為N - P，因此方程為 = cP(N - P)，且初始條件為p(0) = 1，這是一個可分離變量型的方程，容易求解得p (t) = 這里當t→+∞時，p(t) = N，這說明這個模型有一定的合理性。

總之，微分方程解決實際問題主要有三個步驟：首先，是列微分方程和確定解的條件；其二，是解微分方程，求所需之解；最后是對所求解進行分析，是否與實際問題需要相符。

參考文獻

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