淺議軌跡及參數法求軌跡方程

摘要軌跡方程的求法是解析幾何知識的綜合運用，其方法有很多種。參數是數學中解決問題的重要橋梁和工具，在求解軌跡問題時能發揮重要作用。本文從軌跡方程和函數圖象的區別入手，從求軌跡方程的多種方法中，重點闡述利用參數法求動點軌跡方程的方法，揭示其規律。

中圖分類號：O123 文獻標識碼：A

Find Locus Equation by Trajectory and Parametric Method

XIE Fengmu

(Lengshuijiang Industrial College， Lengshuijiang， Hu'nan 417505)

AbstractMethods for finding the trajectory equation is the integrated use of knowledge， analytic geometry， and its methods there are many. Parameter is an important problem in mathematics bridge and tools for solving the trajectory problem can play an important role. This article first images from the track the difference between equations and functions starting from the requirements of many ways to trace equations， using parameters of Method focuses on the fixed point locus equation approach， reveal the law.

Key wordsfunction Image; locus equation; parameter method

動點的軌跡方程是中學平面解析幾何的基本問題之一，在高中階段，無論“教”與“學”，都頗感困難。本文討論函數圖象與軌跡的異同，以求對軌跡的深入理解，重點闡述軌跡方程中參數法的應用。

1 通過對比，抓住軌跡的本質，揭示其規律

函數和軌跡方程是中學數學的兩個重要概念。一般先接觸函數，再學習軌跡方程。學生在最初學習軌跡方程這個概念時，由于只有函數圖象的基礎知識，對圓錐曲線理解不深，感性知識并不豐富；爾后學習圓錐曲線時，又把主要精力放在掌握圓錐曲線的性質上。因此，學生對軌跡方程的求法，往往抓不住要領。針對這種情況，對于軌跡方程和函數表達式，先應該明確以下兩點：

（1）在代數中，求函數表達式，要設出自變量x和因變量y，列出顯式y = f (x)，一般有無數組對應的值，把每一組對應的值作為點的坐標，就形成函數的圖象。而求軌跡方程是在給定的坐標系下，先設動點坐標為（x，y），求出一個包含動點坐標的不定方程f (x，y) = 0，一般來說，它也有無數組解，把每組解作為點的坐標，就形成動點的軌跡。但必須注意的是：對于函數f(x)，自變量x中任意確定的值，因變量y中都有唯一確定的值與之對應，即不能出現一對多的情況，而軌跡方程允許出現此情況。例如：x2 + y2 =1，是軌跡方程，但不是函數表達式。由此可見，函數表達式y = f (x)是軌跡方程和一種形態。

（2）求函數表達式的關鍵在于找等量關系。顯然尋找等量關系的途徑不同，但是一般都要借助一些確定的基本數量關系（比如數學、物理、化學中的公式）。但對軌跡方程而言，由于它是研究動點的運動，而動點之所以能運動，必須有一個引起運動的“源泉”。因此，求軌跡方程時，必須依據題設中的幾何關系和動點運動的規律，通過分析，找出引起動點運動的根源，然后再確定制約動點運動的條件等式。由此可見，求軌跡方程實際上是方程和函數的聯合應用。

2 求軌跡方程的常用方法

求軌跡方程的方法有很多。如果題中的條件有明顯的等量關系或者可以利用平面幾何的知識推出等量關系，則可利用直接法；如果動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），則可利用定義法；如果軌跡上的點p(x，y)的運動依賴于另一動點Q（x，y）的運動，則可利用代入法；如果動點p(x，y)之間關系不易直接找到，可以考慮將x和y都用一個中間變量來表示，叫做參數法，等等。因為參數的尋找具有一定的隱蔽性，所以有一定難度。本文將重點討論參數法求軌跡方程的一些基本思路。

3 參數法求軌跡方程

在一些軌跡方程的求解過程中，可設法引進一個中間變量t（參數），用它分別表示動點的坐標x和y，得到參數方程x = f(t)和y = f(t)，聯立得方程組，消去t ，便得到動點的軌跡方程。參數是數學中的“活潑”元素，選擇得當，它能化簡為繁，“溶解”難點。選擇參數有許多原則，下面的兩條是最基本的：（1）參數的變化必須直接影響動點的變化，即參變數與動點坐標x和y之間是一個函數關系式。（2）參數要與題設的已知量保持聯系。參數的選取要因題而異，機動靈活。從紛繁的變量中找到最合適的參數，是學生學習求軌跡方程的“攔路虎”，如何掃除這個“攔路虎”呢？我們先看以下的實例：

例1：在等腰RtABC中，A為直角，腰長為a，點A和點C分別在x正半軸和y正半軸上滑動，求另一頂點B的軌跡方程。

分析：如圖所示，定線段AC沿坐標軸滑動，導致B點運動，這是B點運動的根源。但是要找出動點B的坐標x和y與動直線AC之間的等量關系，卻比較困難。我們發現，AC滑動，會直接導致∠CAO的變化。現在思考：B點的坐標x與y的變化與∠CAO之間有某種函數關系式嗎？

設∠CAO =，在RtAOC中，|AO|=acos

在RtABD中，|AD|=acos（ - ）= asin，

|BD|= asin（ - ）=acos

故x = |AO| + |AD|= acos + asin

y = |BD| = acos

至此，寫出了x和y關于參數的函數表達式。下面消參得到：x2 - 2xy + 2y2-a2 = 0(x＞0，y＞0)，即得B點的軌跡方程。

歸納：該題巧妙地尋找到了角度為中間變量，列出x和y關于的關系式，消去即得軌跡方程。當然，本題也可以線段OC或OA和長度作參數，但計算量會有較大差別。

例2：傾斜角為的直線交橢圓 + y2 =1于A、B兩點，試求線段AB中點M的軌跡方程。

分析：由題可知，M點的運動依賴于直線的運動，利用直接法、定義法等思路難于求解。由于直線斜率已確定，則直線的運動會引起直線截距的變化，因此，可以考慮將直線的截距作為參數求之。

設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），直線方程為y = x+b，與橢圓+y2 = 1聯立，消去y得到：x2 + 2bx + b2-1= 0

上式利用韋達定理可知：x1+x2= -b，所以，x= -b，代入y = x + b，得到y =b

消去參數b得到：x + 4y = 0

因為直線與橢圓相交，所以方程x2+2bx+b2-1= 0有兩個不相等的實根，即= b2-4ac = 4b2-5(b2-1)＞0，

解之得：-＜b＜，所以 - ＜ -b ＜ -

即：- ＜ x ＜-

故線段AB中點M的軌跡方程為：

x + 4y = 0(-＜ x ＜ - )

歸納：本題以直線的縱截距為參數求解較易。但是，務必注意參數b的取值范圍，以保證曲線方程的純粹性與完備性。

例3：拋物線y = x2上異于坐標原點O的兩個不同動點A、B滿足AO⊥BO，求AOB的重心G的軌跡方程。

分析：AOB的重心的位置取決于AOB的形狀和位置，而AOB完全取決于線段AO（即：線段AO一旦確定，AOB也唯一確定，其重心當然隨之確定）。基于此，可以考慮將直線AO的斜率K作為參數。

設直線AO的方程為y = kx，由AO⊥BO可知，直線BO的方程為y= -x。

聯立方程y = kx和y = x2解得，A點坐標為（k，k2）

聯立方程y= -x和y = x2解得，B點坐標為（-，1/k2）

設AOB重心坐標G（x，y），由重心公式可知：

x = - (k-)，y = (k2 +1/k2)

消去參數k得到G點的軌跡方程為：y = 3x2 +

歸納：本題的解法是以斜率k為參數，分析發現，亦可以線段長、角度等變量作為參數。

通過上面的實例分析，我們不難看出：利用參數法求動點軌跡方程時，首先必須分析是什么變量在左右動點的運動，只有這樣的變量，才能考慮作為參數。同一問題中，如果這樣的變量不止一個，要酌情選取其中一個。其次，具體選擇什么量作為參數，雖然沒有固定的公式可循，但可以給學生總結一些“相對性”的經驗。比如：（1）已知有定長且有動直線與定直線相交時，可選角度為參數。（2）已知通過某一定點的動直線，為便于應用點斜式表示動直線，可選其斜率為參數。（3）斜率為已知的一組平行動直線，可選其在y軸上的截距為參數。（4）已知動點的運動依賴于已知軌跡上的點的運動時，可選已知軌跡上的點的坐標為參數。（5）有時直接采用直線和圓錐曲線的參數方程中的參數作為問題的參數，等等。

參考文獻

[1]朱德祥.初等幾何研究.北京:高等教育出版社，1997.

[2]馬德高.全線突破.北京:中國社會出版社，2005.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文