計算行列式的方法

摘要本文歸納了行列式的各種計算方法，并舉例說明了它們的應用。

中圖分類號：O241文獻標識碼：A

Methods of Determinant Calculation

ZHENG Yaqin

(South China Business College， Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545)

AbstractThe various kinds of methods for determinant calculation were investigated in this paper， and some examples were given to illustrate the applications.

Key wordsdeterminant; vandermonde determinant; method of the reduction of order; mathematical induction

1 利用行列式定義直接計算，適用于行列式中零比較多的情形

例1.計算行列式的值.

解：根據定義，D等于n!項的代數和，然而在這個行列式里，除了a1a2…an這一項外，其余各項均為0，與其對應的排列為23…n，故D = (-1)n - 1a1…an

2 利用范德蒙行列式計算

利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化成范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。

例2.計算。

解：Dn中各行元素都是冪的形式且次數遞增，但不是從0到n - 4，而是由1到n，若提取各行的公因子，則次數便從0遞增到n - 1。于是有

上式右端行列式的轉置是范德蒙行列式，而轉置與其本身相等。故

評注：此題所給行列式不是范德蒙行列式，但是可以利用行列式性質將其轉化為范德蒙行列式，從而利用結論寫出結果。

3 化為三角形行列式計算

例3.計算。

解：將第1，2，3，…，n + 1列都加到第一列，得

將第一列的-a1倍加到第2列，將第一列的-a2倍加到第3列，……，將第一列的-an倍加到最后一列，得

評注：本題利用行列式的性質，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化成三角形行列式。化零時一般盡量選含有1的行（列）及含0較多的行（列）；若沒有1，則可適當選取便于化零的數，或利用行列式性質將某行（列）中的某數化為1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應充分利用這些特點，利用行列式性質，已達到化為三角形行列式的目的。

4 利用降階法計算

例4.計算20階行列式

分析：若考慮化三角形行列式來做，需進行多次加減法和乘法運算，很繁瑣。此行列式相鄰兩行（列）對應元素都相差1，可利用行列式性質，很快算出結果。

解：

5 遞推公式法

若行列式具有較低階的相同結構，則可利用行列式性質，化為低階的具有相同結構的行列式的線性關系式，即遞推法。

例5.

解：

即有Dn - 5Dn-1 = 4(Dn-1 - 5Dn- 2)，或者Dn - 4Dn-1 = 5(Dn-1 - 4Dn- 2)

于是有Dn - 5Dn-1 = 42(Dn-2 - 5Dn-3) = … = 4n - 2(D2 - 5D1) = 4n - 2(61 - 45) = 4n

同理有Dn - 4Dn-1 = 52(Dn-2 - 4Dn-3) = … = 5n - 2(D2 - 4D1) = 5n - 2(61 - 36) = 5n

即

評注：按照第一列展開，可由兩個低階同型的行列式來表示，即得出遞推關系式，從而求出Dn的值。

6 加邊法

在原行列式的基礎上加上一行一列再進行計算，稱加邊法或升階法，前提是加邊后必須保值，要根據需要和原行列式特點選取所加的行和列，使得新的高一階的行列式較易計算。適用于除主對角線元素外，各行（列）對應的元素分別相同的行列式。

例6.求， b1b2…bn≠0的值。

解：

7 拆項法

由行列式的性質，若行列式的某行（列）的元素都是兩數之和，則該行列式可拆成兩行列式之和，利用這一性質，有時較容易求出行列式的值。

例7.

解：

8 數學歸納法

先找出行列式的猜想值，再用數學歸納法給出證明。此方法一般用來證明行列式等式。

例8.證明：

證：當n = 1時，D1 = 1 + a1 = a1(1 + )，結論成立。

假設n= k時結論成立，即Dk = a1a2…ak(1 + )，對n = k + 1，將Dk + 1按最后一列拆開，得

所以時結論成立，故原命題得證。

綜上所述，共給出了計算行列式的8種方法，有些是常見的基本的方法，還有一些是特殊但很實用的方法。在課外書中還有其他的一些方法，如：極限法、換元法、導數法、差分法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。具體到解每一道題目，就要仔細分析，靈活選用合適的方法，著眼點不同，選用的方法就會不同，希望以上歸納的幾種方法能幫助學生提高自身的運算能力和分析問題的能力。當然，也有些題目需要多種解法并用，或一題多解，這就看大家的靈活應用程度，能否找出一個最簡便的方法解出其值。

參考文獻

[1]吳贛昌.線性代數（經管類第三版）.中國人民大學出版社，2009.

[2]高等數學編寫組.高等數學習題解答.中國人民大學出版社，2010.

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