物理中的對稱性與守恒律

摘要本文介紹了對稱性的概念，論述了機械能，動量，角動量與對稱性的關系。

中圖分類號：O4 文獻標識碼：A

Symmetry and Conservation Laws in Physics

GAO Peiyuan， YANG Gang， SHI Lin， AN Peng， MA Hao

(Department of Physics， Shaanxi University of Technology， Hanzhong， Shaanxi 723000)

AbstractThis article introduces the concept of symmetry， discusses the relationship of the mechanical energy， momentum， angular momentum and symmetry.

Key wordssymmetry; mechanical energy; momentum; angular momentum; conservation law

自19世紀，邁耶、焦耳、亥姆霍茲發現了能量守恒定律以來，人們不僅為微分方程的降價而歡欣鼓舞，物理學家們更是由此有了許多新發現。1894年皮埃爾居里又因果律首先提出了對稱性原理，1981年德國女數學家尼約特（A，E，Noether;1882-1935）發表了著名的將對稱性和守恒律聯系在一起的定理。即從每一個自然界的對稱性可得到一種守恒律；反之，每一個守恒律均揭示蘊含其中的一種對稱性，這就大大地激發人們去尋找與之相應的守恒律了。牛頓、歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、龐加萊、愛因斯坦、薛定諤等堪稱對稱性與力學理論的奠基大師，從他們那個時代起，對稱性和力學就是一對親密的伙伴。隨著歷史的發展，對稱性一直發揮著它強有力的作用。①

1 對稱性的有關概念

我們周圍的世界時豐富多彩、千變萬化。動物、植物、街道、房屋等咋一看好像沒有什么共同點，然而，如果我們仔細觀察的話，仍然可以找出一些普遍存在的現象，那就是對稱性。無論對藝術還是自然科學，對稱性都是重要的研究對象，但是，對稱性的概念最初還是源于生活，在藝術、建筑等領域，所說的對稱一般是指左右對稱。首先用嚴謹的概念描述對稱性的還是德國數學家魏爾，他對左右對稱的一幅圖做了如下表述：若某種圖形通過鏡面反射又回到自己，則該圖形對該鏡面式反射對稱或雙向對稱。他有談到，若某一圖形圍繞L軸作任何轉動均能回到自身，則該圖形具有對L軸的轉動的對稱性。②

將對稱性運用到物理上，研究的對象不僅是圖形，還有物理學中的物理量或物理定律等，那么我們首先得搞懂以下幾個概念。第一個概念就是“系統”，系統就是我們要研究的對象；第二就是“狀態”，同一個系統可以處在不同的狀態，不同的狀態可以通過某種變換使他們“處在”相同的狀態；最后就是“變換”了，時空坐標系的改變、尺度的放大縮小等都可以認為是“變換”，也可以稱之為“操作”。一個操作可以對一個物理量或以一種守恒律產生“相同”或“等價”的效果，就是其不變性，比如，牛頓第二定律對于伽利略變換這一“操作”就具有對稱性，因為，經過這一操作，牛頓第二定律是不變的。動量作為物理量經過伽利略變換后發生改變，因從不同的參考系下測出來的動量是不同的，所以，動量對于伽利略變換使不具有對稱性的，但是“在外力矢量和為零的質點系系統動量守恒”這條規則對于慣性系是成立的，因而動量守恒定律對于伽利略變換具有對稱性。動量、能量、動量矩和一系列其他守恒定律，因其特有的普遍性和重要性而與其他物理規律迥然不同：他們既能適用于宏觀客體，又適用于微觀世界，起初這些定律都是作為大量實驗事實的推廣通過實驗途徑確立起來的，后來人們才對他們與時間、空間對稱性原理的相互聯系有所進一步的理解，不僅理解了他們的普遍性，而且還能預言某種守恒定律在什么條件下將遭到破壞，或者改變原有的形式。

2 對稱性與守恒量

2.1能量守恒與時間的均勻性（能量守恒與時間對稱性）

拉格朗日函數定義為。③拉格朗日函數中不顯含時間t，即，因此有：（1）

利用保守力系下拉格朗日方程有：，根據萊布尼茲法則等， 整理得：（2）

我們令，我們定義H為廣義能量，即廣義能量H為一個守恒量。設動能的表示為T， 則

假如系統是定常的或是穩定的，則上式中函數不含t，所以，所以a = a = 0，即動能T成為的二次齊次函數，由齊次函數的歐拉定理可得在廣義坐標下，勢能是廣義坐標的函數，則有：

（下轉第113頁）（上接第109頁）

整理得： = 2T - L = T + V = 常量，所以，H表示系統的機械能，由上式我們可以看出，機械能是一個守恒量。從另一個方面可以看到時間的對稱性。

2.2 動量守恒與空間的均勻性（動量守恒與空間均勻移動）

在一個封閉的體系內，各質點間具有相互作用，由于空間的均勻性，當體系內各質點進行同樣的位移時，不應當改變體系的力學性質，從而使拉氏函數保持不變，那么，在速度不變的情況下，當很小的時候，（3）求和對體系所有的質點進行，因為空間的均勻性要求使，而又是任意的，所以就相當于，用拉氏方程即④，由得：若用pn表示體系中所有質點的動量，則：，因此得： = 恒矢量。所以我們得到了體系中的動量守恒定律，從這里我們看到了空間對稱性的一個側面。

2.3 角動量守恒與空間的各向同性（角動量守恒與空間均勻轉動）

空間各向同性就意味著在封閉系統整體在空間任意轉動時，體系力學性質不變，與此相應，其拉氏函數也不應改變，即。引入一個無窮轉動矢量，我們可以得出：（4）當體系轉動時，不僅矢徑的方向改變，而且所有質點的速度矢量也都按相同規律改變，這時，相對于靜止坐標系中速度的增量由下式給出：（5） 則：，而且因為是封閉系統，，所以，空間的無窮小轉動所引起的拉氏函數的改變為：，把（4）（5）式代入上式可得：，由矢量代數可知，對三個矢量間的混合積運算法則知：因為根據保守力系下拉格朗日方程：， 所以：

因為是任意的， 所以就相當于：，即： = 橫矢量。 按拉氏函數的定義：，而就是體系中各質點的動量，所以，體系的角動量守恒，從這里我們看到了空間對稱性的另一個側面。

3 結論

通過上面的討論可以看到：物理規律在一定的時間、空間變換下的不變性，即時間與空間的對稱性。從時間的均勻性、空間的均勻性及空間的各向同性這些對稱性原理出發，經過嚴密的推理，又合乎邏輯地導出能量守恒定律、動量守恒定律、動量矩守恒定律，因此我們可以說這些守恒律緣起于時空的對稱性。

注釋

①Jerrold E.Marsden，Tudor S.Ratiu.力學和對稱性導論[M].王麗瑾，劉學深，等譯.北京:清華大學出版社.

②漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京:高等教育出版社，2005:173-174.

③王劍華，李康等.理論力學[M].陜西:陜西科學技術出版社，2009:186-187.

④卓崇培，劉文杰.時空對稱性與守恒定律[M].北京:高等教育出版社，1982.

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