條件分式求值題解法例談

摘要針對條件分式求值類試題，若能仔細分析已知條件和所求式子的特點，找到它們之間的內在聯系，往往能夠尋求到簡便易行的解題方法，達到快捷、準確解題的目的。下面予以舉例說明。

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

Examples About Solutions of Conditions Fraction Evaluated Questions

MAO Jiaoke

(Kuaixi Middle School of Yangshi Town， Loudi， Hu'nan 417122)

AbstractAccording to conditions fraction evaluated questions If can careful analysis known conditions and the characteristics of the problems， find their inner relation， often can seek tan easy solving method， reach the purpose of fast， accurate solving problems， this paper will give some example to explain it.

Key wordsconditions fraction evaluated problem; solving method

1 配方法

根據已知式特點，將其配成完全平方公式，容易求出有關字母的值或尋求到待求值分式分子、分母之間的聯系，從而使問題得以解決。

例1設a＞b＞0，a2 + b2 - 6ab = 0，則= ______。

解：∵a2 + b2 - 6ab = 0

∴a2 + b2 + 2ab = 8ab，a2 + b2 - 2ab = 4ab。即(a + b)2 = 8ab，(a - b)2 = 4ab。

又∵a＞b＞0，∴a+b＞0，a-b＞0。∴a+b=2，a-b=2

∴ ==。故填。

例2已知a2 + b2 - 10a - 6b + 34 = 0，求的值。

解：∵a2 + b2 - 10a - 6b + 34 = 0，即（a2 - 10a + 25）+（b2 - 6b + 9）= 0

∴(a - 5)2 + (b - 3)2 = 0。∴a=5，b=3。∴ == -13

2 參數法

巧妙設參數，以參數為過渡的橋，往往能將崎嶇變坦途。

例3 已知 == ≠0，求的值。

解：令 === k，∴x=2k，y=7k，z=5k。

∴ === 4

例4某一工程，甲隊單獨完成所需天數是乙隊、丙隊合作完成所需天數的a倍，乙隊單獨完成所需天數是甲隊、丙隊合作完成所需天數的b倍，丙隊單獨完成所需天數是甲隊、乙隊合作完成所需天數的c倍，求的值。

解：設甲隊、乙隊、丙隊單獨完成這項工程各需x天、y天、z天，由題意得

x = ，y = ，z = 。

∴a =+ ，b =+ ，c =+ 。

∴a + 1= ，b + 1= ，c + 1= .

∴ == 1

3 整體考慮

從全局著手，明確目的，避開“非必求元素”，直奔終點。

例5已知 -= 3，求的值。

解：∵ -= 3，∴b - a = 3ab。即a - b = -3ab。

∴

例6已知x、y、z、a、b、c均為實數，且 ++= 1，

++= 0，求 ++ 的值。

解：由已知易得abc≠0，xyz≠0，又 ++= 1

∴（ ++ ）2 =+++ 2（ ++ ） = 1（1）。而 ++= 0，

∴( ++ ) = 0。即 ++= 0。（2）

由（1）-（2）€?2得 ++= 1。

4 倒數法

若分式的倒數更為簡潔或分式的倒數之間關系更為明顯時，不妨用此法。

例7 已知 = 求的值。

解：∵a≠0，而 = ，∴ = 3。即a += 4

∴ = a2 ++ 1 = (a + )2 - 1 = 42 - 1 = 15

∴ =

例8已知a、b、c均為實數，且 = ， = ， = ，求的值。

解：由已知a ≠ 0，b ≠ 0，c ≠ 0。

而 = ， = ， = ，

∴ = 3， = 4， = 5。

即 += 3， += 4， += 5

∴( + ) + ( + ) + ( + ) = 2( + + ) = 12

∴ + += 6

∴ =+ += 6。∴ =

5 消元法

通過消元，使問題簡化，更易找到解決問題的方法。

例9已知x + y - a = 0，2y2 - y - 2a = 0，a≠0求y - 的值。

解：∵x + y - a = 0，∴a = x + y。又∵2y2 - y - 2a = 0，

∴2y2 -y-2 (x + y) = 0。即2y2- 3y - 2x = 0。

又∵a≠0，∴y≠0，∴ = 0。

即2y - = 3。

∴y -=

6 局部代入法

整體觀察，局部代入，可達到降次、消元、化歸目的，使復雜問題簡單化。

例10 已知abc=1，求 ++ 的值。

解：∵abc=1，∴ ==

∴ ==

∴++

=++= 1。

7 主元法

在一個問題中若有多個變量，可選定其中一個或幾個變量作為主元，可收到簡捷明快，出神入化的解題效果。

例11已知3x - 4y - z = 0，2x + y -8z = 0，求的值。

解：解以x、y為未知數的方程組，得

∴ === 7

由于篇幅所限，條件分式求值的其余方法就不在此一一列舉。只要我們仔細觀察，認真思考，不斷總結，還會出現更多條件分式求值的巧妙方法。