實變函數中定理證明方法探究

摘要本文通過對實變函數的相關證明定理進行了具體探究，分析實數函數的特點、教師在施教過程中對實數函數入門應該具備什么樣的理論知識，并且通過一些具體的定理來加以說明。最后，把此定義為一門長期的學科研究。

中圖分類號：O174文獻標識碼：A

Analysis of Theorem Proving Method in Functions of Real Variable

ZHANGYing， CAO Guiwen

(Shangqiu Vocational and Technical College， Shangqiu， He'nan 476000)

AbstractThis article through specific inquiry to relevant proof theorem of real variable function， analyses the characteristics of real function， and what theoretical knowledge the teachers should have in process of teaching real function introductory， and try to explain it by some specific theorem. Finally， definite thisfor a long-term discipline to research on.

Key wordsreal function; theorem; proove

1 實變函數的特點

實變函數的定義就是以實數作為自變量的函數。實變函數的應用范圍非常廣泛，而且內容抽象，理論嚴謹，概念性很強，并且我們可以發現，該課程雖然歸屬數學專業，但是關于計算的內容幾乎為零。最主要的內容是由其本身的定義、定理所組成的一套理論體系。并且在推論的過程中，需要運用較多的定理加以證明，對邏輯思維能力要求比較高，在一些定理的證明中，推論過程相對雜，邏輯性縝密、證明過程復雜，對于剛入門的學生來說，確實是一門高難度的數學課程。

針對實變函數抽象復雜的特點，學好這門課程就必須有掌握好扎實的理論基礎知識，并利用實變函數的特點，培養自身的思維創新能力。從入門之初起便要探索實變函數一整套課程的理論體系以及脈絡。

2 學習實變函數的目的

很多入門的學生會有一些疑問，實變函數如此復雜難懂，為什么還要去學，而且在過往的數學科目當中，已經學習過了微積分的概念，在實變函數當中，為什么還要加以學習，目的何在，到底實變函數與之前學過的數學分析論斷有什么區別。

我們在大學當中學到的積分被稱為“黎曼積分”，由于在積分和極限換序以及微積分理論中存在著許多的不足的地方，從而，研究學家們變創造出了勒貝格積分，以此來克服了黎曼積分的許多不足之處，這些全新的理論就是實變函數的核心內容。實變函數當中的諸多定義和定理與之前學過的數學定理對比時，可以很明顯的突出實變函數的清晰、快捷的優越性，更進一步的說明學習實數函數的重要性。

在實際的學習當中，很多人會提出，實數函數如此抽象，他的實際作用是什么？前面提到過，想要能夠出色的學好實變函數，就必須有良好的邏輯思維能力，在這一方面，實變函數課程里涉及到大量證明，學生們認真嚴謹的學習態度和邏輯思維能力起著不可估量的作用，在未來更多的工作路上，絕大部分的數學科同學們將來從事的工作應該會和數學有關，實變函數在未來的工作之路上，將會起到非常直接有效的作用。

3 學習實變函數的重要性

洛陽師范學院數學科學院的蘇孟龍博士就曾經提到過：對于這樣一門抽象的實變函數，如何在課堂中對學生講清楚一些定義、定理的含義以及作用是非常重要的事情。例如：蘇博士在課堂當中，對測度這一個比較重要的概念就從不同的角度去進行了全面詳細的講解。最開始，蘇博士會讓同學們了解為什么要引入測度這一概念，即在定義勒貝格積分時出現的特殊集合，因為無法用傳統的測量工具去測量，所以引入了測度這一概念。接下來，就會介紹引入測度的兩種不同方法：第一種方法是先引入外側度，如若外側度滿足卡拉泰奧多利條件，則稱集合的測度是存在的；第二種方法就是同時引入內側度和外側度，當內外測度相等的時候，就說明集合的測度是存在的。第三步就是對勒貝格外測度、測度的定理進行進一步的深入解釋，并且又說明了測度的發展由來以及歷史，說明了其傳統的體積、博雷爾測度、勒貝格測度和勒貝格測度以及抽象測度的區別和聯系。引出的一系列的例子，很容易的就讓同學們對測度這個概念有了更進一步深入的理解。

事實上，我們在用黎曼積分概念證明黎曼積分的充要條件時，不難發現，很簡單的函數里卻不Riemann可積，于是可以很明顯的發現，Riemann積分適用范圍很小。在1902年，法國數學家LEBESGUE在其博士論文《積分、長度與面積》中，成功解決了黎曼積分適用范圍小的缺點，他定義了新的積分，并找出了和某種微分之間的關系。為了更簡單的運用一些數學方法，我們便開始推廣勒貝格的新的積分學。

4 實變函數簡單化的方法以及例子

在理清學習實變函數的目的和要求以后，教師在引導學生學習過程中應該運用一些方法去讓同學們更好的理解：運用圖解的方式便于學生的理解，因為過于復雜，（下轉第97頁）（上接第76頁）如果運用大量的圖像就會使得每一個定理更容易理解。例如：在某些集合的運算關系已經可測函數的定義上，一些圖形的添加，就會加深同學們對這些定義的理解。在學習實數函數的過程當中，會出現到大量的證明，對于初學者來說，是一件很苦惱的事情，如何做到簡單易懂，是初學者都希望的事情。在涉及到實數函數的每一個定理時，都力爭做到仔細、詳盡。就會對日后學習的定理證明難度降低，使得每一個過程都銜接的緊密妥當，沒有過度較大的跨越性，從而使得每一個證明都比較簡單易懂。對于這門課程來說，大家需要把初入門中的定義、定理含義以及作用理解清楚是非常重要的事情。教師在講解過程中，必須要講解得透徹，清楚。可以舉幾個計較常用的定理：

比如講解葉果洛夫(EropoB)定理這一節時，首先需要給同學們分析函數例=Xn，0≤X＜1(或X∈[0，1)=E)，不一致收斂于函數= 0，0≤X<1的原因，接著指出對任意的0＜1，卻有fn(x)=Xn，0≤X≤l一(或X∈[0，1—）= E)，能夠一致收斂于函數=0，0≤X≤1當6充分小的時候，這兩個函數列的定義域相差無幾，他們的測度差為m(E\\E) =。這給學生留下了直觀的認識，接著將上述的情形一般化抽象，就引出了葉果洛婦夫（EropoB）定理。此時，學生就會很自然的接受和理解了。比如：講解集合的“對等和基數”章節時，給出一個有限集合M={a1，a2，…，an}，提問學生該集合為什么共有這些個元素？你是如何得到的？學生們回答是用數的辦法得到的。此時，老師就要順著學生的回答接著提問。第一，“數”集合的元素，其本質是什么？集合的元素進行“數”。這無形中就給集合的每個元素進行了編號，最后一個元素n，既表該集合的第n個元素，同時也表示該集合共有n個元素，這樣任何有限集合都可以可以采用“數”的辦法來確定元素的個數，同時也得出元素有限的集合可以和自然數的某一段一一對應。第二，確定集合的元數采用數的方法是否一定可行？對于無限集合采用“數”元素個數的辦法是行 不通的．這就促使我們去思考兩個無限集合如何判斷其元素多少，接著把前面“數”集合元素的本質告知，就是需找一對一的對應。通過以上的介紹很容易引出本節的內容，所謂集合的“對等”就是彼此可以一一對應的集合，所謂集合的“基數”就是彼此對等集合的元素的個數。

5 實變函數中的定理證明是一門長期探索的重大學科

在教育改革如此翻天覆地的今天，我們應該看到數學學科學生的未來，能看到未來這些優秀的數學人才對祖國作出的重大貢獻，在實變函數的一系列內容當中，它的定理、定義的認知仍然值得我們不斷的對此進行探索，并且這是一個長期不間斷的一門重大學科探索。

參考文獻

[1]盧同善.實變函數課的教材編寫思路研究[J].高等理科教育，2003(6):71.

[2]蘇孟龍.實變函數教學的一些改進方法[J].高校理科研究:70.

[3]盛興平，姚云飛.針對課程特點改革教學，提高“實變函數論”教學效果[J].阜陽師范學院學報，2010(27):71.