淺談洛比達(dá)法則

摘要在一元函數(shù)極限的計(jì)算中，洛比達(dá)法則是解決這一問題的最有效方法，但洛比達(dá)法則也不是“萬能”的，運(yùn)用不當(dāng)不但計(jì)算十分復(fù)雜，甚至得不出結(jié)果或?qū)С鲥e誤的結(jié)果。

中圖分類號：O172文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Shallow Analysis of L'Hospital

JIANG Yinshan

(Austral Business School of Guangdong University of Foreign Studies， Guangzhou， Guangdong 510545)

AbstractIn a circular function limit calculation， L'Hospital Law is the most effective way to solve this problem， but it isn't \"universal\"， wrong using of it will be very complicated and lead to a wrong result or nothing.

Key wordsindefinite formulas; the substitution equivalent infinitesimal; Nonzero factor; limit

在一元函數(shù)極限的計(jì)算中，常常遇到求所謂“未定式”的極限問題。洛比達(dá)法則是解決這一問題的最有效方法，但洛比達(dá)法則也不是“萬能”的，運(yùn)用不當(dāng)不但計(jì)算十分復(fù)雜，甚至得不出結(jié)果或?qū)С鲥e誤的結(jié)果，所以給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來很大的困擾，那么如何正確使用洛必達(dá)法則，本文就這方面進(jìn)行一定的總結(jié)，希望能給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來幫助。

1 洛比達(dá)法則的三個條件是結(jié)論的充分條件

現(xiàn)以洛比達(dá)法則I加以說明：

若函數(shù)f (x)與g(x)滿足下列條件：

（1）在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)，f '(x)及g '(x)都存在，且g '(x)≠0；

（2）當(dāng)x→a時，函數(shù)f (x)及g (x)都趨于零；

（3） 存在，則=

在使用洛比達(dá)法則時應(yīng)注意條件（3）僅是充分條件，即當(dāng)有限 不存在時，雖然不能使用洛比達(dá)法則，但極限 仍可能存在。

例1．求

解：此極限屬于型的未定式，但對分子和分母求導(dǎo)后，將變?yōu)?/p>

由于 cos 的極限不存在（振蕩），故洛必達(dá)法則失效，但原極限是存在的，可用如下方法求得：

= x sin=xsin=1€?=0

2 應(yīng)注意檢查使用洛比達(dá)法則的條件

首先檢查所求的極限是否屬于未定式，只有，型的未定式，才能使用洛比達(dá)法則，而0，∞型的未定式轉(zhuǎn)化為或型；∞-∞型的未定式轉(zhuǎn)化為型；00，∞0，1∞型0，∞型或型。故在使用洛比達(dá)法則時一定要檢驗(yàn)它的型，洛必達(dá)法則可多次使用。

例2求

解：= = = 是錯誤的。

因?yàn)?既不是也不是型，故不能使用洛比達(dá)法則，其實(shí) = 0

例3求

解：=不存在，但=(1+) = 1+0 = 1

從例3可以看出使用洛比達(dá)法則不但要檢驗(yàn)未定式的型，還要看滿不滿足洛必達(dá)法則的三個條件。

3 使用洛比達(dá)法則應(yīng)采用一定的技巧

在多數(shù)情況下，使用洛比達(dá)法則是有效和簡便的，但對一些形式較為復(fù)雜的未定式極限的計(jì)算就不能一味地使用洛比達(dá)法則而要注意配合使用其它方法，才能在計(jì)算過程中簡化。

3.1 使用未定式

例4 求 ( - )

法一：直接使用洛比達(dá)法則

解：原式= ，（型）=

=（洛比達(dá)法則）

=

=（洛比達(dá)法則）

=（洛比達(dá)法則）

=

= = 。

法二：洛比達(dá)法則與等價無窮小的代換結(jié)合使用。

原式=

=

=

=

= =

3.2 將“非零因子”分離出來

例5 求

如直接用洛比達(dá)法則計(jì)算將很復(fù)雜，我們發(fā)現(xiàn)分子和分母都有非零因子cos2x和。因此首先將它們分離出來，轉(zhuǎn)化為兩個極限的乘積后，再用洛比達(dá)法則就簡單多了。

解：原式=

= 1·1 = =

參考文獻(xiàn)

[1]馬慶華.淺談如何正確靈活使用洛比達(dá)法則.惠州大學(xué)學(xué)報，1999.12(4).

[2]吳贛昌.微積分[M].中國人民大學(xué)出版社，2009.7.

[3]考研命題研究組.研究生考試應(yīng)試教程[M].科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2006.2.