記新課改下“任意角三角函數”的教研活動

摘要新一輪的基礎教育課程改革是一次自上而下的全方位的改革，通過國、省、市、校四級培訓，教師的教學理念得到了“換血”，感受最深的就是轉變教師的教學行為和改變學生的學習行為。在實踐新課程改革的過程中，我們碰到了許多的問題和困難，校本教研活動有效開展將是課程改革成功的關鍵，它能集合集體的智慧，幫助教師解決問題與困難，從而穩步推進新課改。

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A

A Teaching and Research Activity About \"Trigonometric

Function\" Under New Course Reform

YI Cunxin

(No.1 High School of Yibin，Yibin， Sichuan644000)

AbstractA new educational reform all over the country has been carried out since 2004. In 2010， after training four times， including national training， provincial training and school training， the teaching ideas of our teachers have changed a lot. What most impressed me is that the changes of teaching and research activities about class and the changes of students' study habits. Since teaching reform began in our school， we have met many problems and difficulties. The key to success of teaching reform in our school is to develop and improve teaching and research activities. We can gather the best ideas and solutions in teaching and research activities， which can help teachers solve the problems to carry educational reform forward steadily.

Key wordstrigonometric function; teaching and research activities; a new educational reform

按照教研組要求，在教學前兩周，每一位教師將個人編寫的教學設計與學案上傳到學校內網數學組必修五文件夾，再由下周的主備課人集合全組智慧生成主備人教案與學案，最后在教研活動中討論修改。筆者有幸擔任“任意角三角函數”這一節的主備課人，在各位老師的教學設計中，對如何設計“任意角三角函數”的概念課最有分歧。歸納整理有以下三派意見：

保守派：趨向于按“終邊定義法”講解任意角三角函數的定義，即在角的終邊上任取一點P(x，y)，P到原點的距離為r，比值，，分別定義為角的正弦函數、余弦函數和正切函數。其主要理由有：一是方便處理教材例2 “已知角的終邊經過點P0(-3，-4)，求角的正弦、余弦和正切值”這類問題；二是知識的完整性，x，y，r三個字母兩兩相比，有A23種比值，從而產生六種三角函數，若按“人教A版”定義，不久的將來，可能連“余切及正余割函數”將從數學中消失；三是“終邊定義法”經過“取點──求距離──求比值”等步驟，可操作性強，便于用“定義法”處理已知的某一三角函數，求其余三角函數。

課改派：趨向于按“單位圓定義法”講解任意角三角函數的定義，即，設是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：y叫做的正弦，記作sin，即sin=y；x叫做的余弦，記作cos，即cos=x；叫做的正切，記作tan，即tan = （x≠0）。其主要理由有：一是簡單、清楚、易掌握，坐標（cosa， sina）是單位圓上點的動態描述，正弦、余弦函數的基本性質就是圓的幾何性質的解析表述；二是突出三角函數最重要的性質──周期性，單位圓上點的坐標隨著角a每隔2而重復出現（點繞圓周一圈而回到原來的位置）；三是便于采用“數形結合”的思想研究三角函數的定義域、值域、函數值符號的變化規律、同角三角函數的基本關系式、誘導公式、周期性、單調性、最大值、最小值等。

中庸派：趨向于先講“終邊定義法”，再簡化定義，從而得出“單位圓定義法”，即教學中先復習直角三角形為載體的銳角三角函數，再把直角三角形放到直角坐標系中得出第一象限角的三角函數，再推廣到任意角的三角函數，得到“終邊定義”，再簡化定義，使分母為1，從而得出單位圓上點的坐標表示的三角函數，得到“單位圓定義”。這樣做既可以處理例2這類問題，又為“單位圓定義法”做好認知準備，便于用單位圓研究三角函數的性質。

分析三種處理方式的老師，“保守派”主要以老教師為主，他們用“終邊定義法”教了幾十年，已經習慣了，從而主觀上排斥新知識，新課改。“中庸派”主要以中青年教師為主，他們教齡一般在十年左右，在改革中，不夠徹底，總想左右兼顧，想得太多，產生兩種定義，沖淡學生對重點的把握，實際效果未必更好。“課改派”主要以青年教師為主，教齡一般在十年以下，接受新信息的能力較強，是新課改的生力軍，在自己的“教學方式”和引導學生的“學習方式”的變革中轉變最快，最徹底。

在教研活動中，程序一是學習《普通高中數學課程標準（實驗）》必修4三角函數部分，通過學習，明確《課標》對三角函數部分的要求，與《全日制普通高級中學數學教學大綱》相比，刪減了任意角的余切、正割、余割等內容，將解三角形放到了數學5 中學習，降低了對任意角、弧度制概念、同角三角函數基本關系式等內容的要求，由理解、掌握減弱為了解、理解。為了加強對“任意角三角函數的概念的統一認識，又學習了章建躍主任的文章《為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數》。對任意角三角函數的認識有了理論上的提高，任意角三角函數的本質是以角為自變量的函數，其概念建立的難點是轉換思考問題的角度，突破用直角三角形定義三角函數的思維局限，把原來銳角三角函數定義中的三角形邊的長度比轉換為適用于任意角三角函數的坐標或坐標比，概念建立的方式是對原有的數學認知結構進行部分改組和構建，進而形成新的數學認知結構。

程序二是展示主備課人的教案與學案，并集體討論。 集體圍繞“單位圓定義法”進行教學設計，現摘其部分如下：

知識準備：通過復習“1弧度的定義”及“角度制與弧度制的互化”，讓學生進一步熟悉弧度制，方便本節課的學習和使用。

問題1：在初中，我們學了直角三角形中的銳角三角函數，你能回憶出銳角三角函數的定義嗎?（畫出圖形，請學生解述）

過渡：角推廣后，這樣的三角函數的定義不再適用，我們必須對三角函數重新定義。我們知道銳角三角函數是以銳角為自變量，以比值為函數值的函數。 (教師點出)。

問題2：如圖，若把銳角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，那么它的終邊在第一象限。在的終邊上任取一點P(a，b)，它與原點的距離r = （r＞0），由銳角三角函數的定義，你能用點P的坐標及r來表示銳角的三角函數嗎？

問題3：對于給定的角，如果改變的終邊上的點P的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？（結合相似三角形知識，讓學生說明三個比值與終邊上點的位置無關）

問題4：既然這三個比值與終邊上點P的位置無關，那我們能否在終邊上找到一個特殊的點，使其比值恰好等于其直角邊或直角邊的比？（分小組組討論）

（學生通過討論，將點P取在使線段OP的長的特殊位置上，即終邊與單位圓的交點，設P點坐標為（a，b），則得到用直角坐標系內的點的坐標表示銳角三角函數：sin = b，cos = a，tan = 。）

探究：上述銳角的三角函數值可以用終邊與單位圓的交點的坐標（a，b）來表示，試想，我們能否將上述銳角三角函數的定義推廣到任意角呢？

結合上述銳角的三角函數的定義，若是確定的鈍角，則終邊與單位圓的交點坐標P(x，y)也是唯一確定的，此時我們就把y就稱為鈍角的正弦，x就稱為鈍角的余弦，就稱為鈍角的正切。記為sin=y，cos=x，tan = 。

類似地，我們可以將這個鈍角推廣到任意角：設是一個任意角，我們可以利用單位圓定義任意角的三角函數，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做的正弦，記作sin，即sin=y；x叫做的余弦，記作cos，即cos=x；叫做的正切，記作tan，即tan =(x≠0)。

問題5：你認為任意角三角函數的定義符合函數的定義嗎？你能說出它的自變量與對應法則嗎？

點拔：三角函數是以角的弧度數為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，又因為角的集合與實數集之間可以建立一一對應關系，故三角函數也可以看成實數為自變量的函數。

問題6：按照我們研究函數的一般思路，接下來我們將研究三角函數的哪些問題？

問題7：根據單位圓及任意角三角函數的定義，你能確定這些函數的定義域、值域嗎？

問題8：根據任意角三角函數的定義，你能確定三角函數值在各個象限的符號嗎？

問題9：根據任意角三角函數的定義，你能寫出特殊角0、、、、2、的三角函數值嗎？（學案中制成表格）

問題10：通過學習，你對任意角三角函數有了哪些新的認識？有哪些體會？利用定義你能解決哪些問題？你還有哪些不明白的地方？請把它寫下來。

本教學設計通過十個問題串，引導學生通過回憶以直角三角形邊的比值定義的銳角的三角函數，接著把這個銳角放在直角坐標系中，讓學生用角的終邊上點的坐標表示銳角的三角函數，然后由相似三角形的知識，理解三角函數值只與的大小有關，與點在終邊上的位置無關，因此可用單位圓上點的坐標表示銳角的三角函數，最后推廣為用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數。這樣的設計過渡自然，有利于步步加深學生對三角函數本質的理解。

程序三是使用者修正教案與學案，根據自己所教班級的學情與教情，有選擇地吸取集體智慧，修正設計思路，融入個人特色，并做好教學預設，形成“二次備課”教案與學案。力求提高課堂效率，從而穩步推進新課改。

參考文獻

[1]章建躍.為什么用單位圓上點的坐標定義任意角的三角函數.數學通報，2007(1).