不動點原理與遞推\\迭代數列的極限探析

摘要不動點原理在數學中具有極其重要的地位，如能加以靈活運用，可以解決諸多問題。本文從不動點的定義及定理出發，介紹不動點在遞推、迭代數列極限中的應用，得出有些數列用數學分析中的方法求是比較繁瑣的，而用我們的不動點原理解則很簡潔。

關鍵詞不動點 壓縮映射 極限 通項公式

中圖分類號：O13文獻標識碼：A

Fixed Point Theorem and Limit Analysis of

Recurrence and Iteration Progression

HUANG Jinping

(Mathematics School， Chongqing Normal University， Chongqing 400047)

AbstractFixed point theorem has very important position in mathematics， it can solve many problems if be well and flexible used. Tis paper start from the definitions and theorems of fixed point， introduces the its application in recurrence and iteration progression， reults that Some mathematical analysis method in the sequence is much tedious， but fixed point theorem is very simple.

Key wordsfixed point; contraction map; the limit; general term formula

極限的存在與計算問題是數學分析中的重要問題。數學分析中求極限的方法很多，一般的求遞推數列的方法是用單調有界原理，但有些遞推數列并不單調，不能用單調有界定理求解，如本文的例1。迭代數列的極限問題用不動點定理來解決，不僅體現了數學分析求極限的方法多，而且也為泛函分析的學習打下了基礎。如本文中的例2。兩種數列都使用不動點原理來求，體現了其方法的優越性。

1 不動點定義及相關定理解讀

定義1設f (x)在[a，b]上有定義，則稱方程f (x) = x在[a，b]上的解為f (x)在[a，b]上的不動點。

定理1設f (x)是區間[a，b]到自身的一個映射，若x，y∈[a，b]且x≠y，有|f (x) - f (y)|＜|x - y|，若x0∈[a，b]，xn+1 = f (xn)，n = 0，1，2，3，……則{xn}必收斂。且xn = x0滿足x0 = f (x0)，即是映射在區間[a，b]上的唯一不動點。

證明：先證不動點的唯一性。設x0，y0∈[a，b]是f (x)的不動點，且x0≠y0，則有x0 = f (x0)，y0 = f (y0) ，由已知條件有|x0 - y0|=|f (x0) - f (y0)|＜|x0 - y0|，得出矛盾，故不動點是唯一的。

再證不動點的存在性，即證xn+1 = f (xn)收斂。由已知

x，y∈[a，b]且x≠y，有|f (x) - f (y)|＜|x - y|，從而知f (x)連續，且a≤xn≤b(有界)，記

若，使得xN - xN-1 = 0，則有xN+1= f (xN) = f (xN-1 ) = xN，可得xN+1= xN = xN-1 ，有xN+P= xN--1，P = 0，1，2，…，故xn = xN，因此，以下均假設，對任給的n＞1，xn≠xn-1。

當＜1時，此時式(1)對數列{xn}成立，(取 = )，與不動點定理的證明類似，易證{xn}為柯西點列，從而收斂。

當=1時，若，則與已知條件

|f (x) - f (y)|＜|x - y|矛盾。

故xn的子列{xn}， (2)

因為{xn}有界，由致密性定理知，{xn}有收斂子列，不妨仍記作，且，又因為f (x)連續，故

現證明f (x0) = x0，否則，將上述極限代入式(2)，得

從而與已知條件|f (x) - f (y)|＜|x - y|矛盾，故

(3)

記yn = |xn+1 - xn|，由已知條件得yn 單調遞減，且有下界，從而yn 收斂，又由式(3)可知，故yn→0，設{xnj}為{xn}的任一收斂子列，且xnj = y0，因為f (x)，故xnj+1 = f (xnj) = f (y0)，又ynj= |xnj+1 -xnj |→0，可得f (y0) = y0。由不動點的唯一性可知y0 = x0，從而{xn}收斂，定理1證畢。

2 不動點定理的應用分析

定理1在解決遞推數列極限的存在性和計算問題上有著十分重要的作用，并且其解法顯得更加簡潔。

例1設x0 = 1， xn+1 = 1+ 設，求xn

易知數列{xn}不是單調的，不能直接用單調有界定理。而通常是用歸納法求出偶數項是單調增的，奇數項是單調減的，再判斷偶數項的極限與奇數項的極限一樣，最后得出數列的極限。此比較繁瑣，因此我們考慮用不動點的定理1解決。

解：因為函數f (x) = 1+ ，x∈[1，2]是單調的函數，可以得出是上到自身的映射。又因為x，y∈[1，2]且x≠y，有

。

因為x，y∈[1，2]，故||＜1

即|f (x) - f (y)|＜|x - y|。故f (x)是[1，2]到自身的壓縮映射。由定理1得遞推數列：xn+1 = 1+= f (xn)， x0 = 1收斂。其極限為x = f (x)1+ 的解 ，解得xn = 。故此遞推數列的極限為。

定理2已知數列{xn}滿足xn = f (xn-1)，f (x) = ，其中c≠0，ad - bc≠0，設p是f (x)唯一的不動點，則數列是一個等差數列。

例2 設數列{xn}滿足，xn+1 = 4 - ，x1 = 4證明數列{xn}收斂并求極限。

證明：構造函數f (x)= 4 - ，易知f (x)有唯一的不動點p = 2，且f (x)可變形為f (x) = ，據定理2知

=+

即數列是以首項為，公差為的等差數列，則對應的通項公式為 =+ (n-1) = ，解出xn

得xn = 2 + ，易知xn = 2

3 結語

綜言之，本文應用了不動點的基本定理，求出了兩類數列的極限，應用定理1要注意找到滿足條件的閉區間[a，b]，并構造相關的壓縮映射，這是解決問題的關鍵所在。定理2則是借助不動點構造新數列，求通項公式，再判斷其極限存在否，此時只要滿足f (x) = 的形式，且f (x)有唯一的不動點即可。

顯然，應用不動點原理來求解這兩類關于遞推、迭代數列的極限時很方便。

參考文獻

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